Дискретная случайная величина и закон ее распределения

Тема №10

Реальное содержание понятия «случайная величина» может быть выражено с помощью такого определения: случайной величиной, связанной с данным опытом, называется величина, которая при каждом осуществлении этого опыта принимает то или иное числовое значение, причем заранее неизвестно, какое именно. Случайные величины будем обозначать жирными буквами х, у,….

Определение. Говорят, что задана дискретная случайная величина х, если указано конечное или счетное множество чисел

х₁, х₂ …

и каждому из этих чисел x_i поставлено в соответствие некоторое положительное число p_i, причем

р₁ + р₂ + …= 1.

Числа х₁, х₂ … называются возможными значениями случайной величины х, а числа р₁, р_{2 ,…} - вероятностями этих значений (p_i = Р ( х = x_i)).

Таблица

xi	x1	x2	…
pi	p1	p2	…

называется законом распределения дискретной случайной величины х.

Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины изображают графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки (x_i, p_i) и соединяют последовательно отрезками прямых. Получающаяся при этом ломаная линия называется многоугольником распределения случайной величины х.

Пример 1. По мишени производится 4 независимых выстрела с вероятностью попадания при каждом выстреле р = 0,8. Требуется: а) найти закон распределения дискретной случайной величины х, равной числу попаданий в мишень; б) найти вероятности событий: 1 £ х £ 3; х > 3; в) построить многоугольник распределения.

Решение. а) Возможные значения случайной величины х: 0, 1, 2, 3, 4. Соответствующие вероятности вычисляем по формуле Бернулли:

Закон распределения х представится таблицей:

xi
pi	0,0016	0,0256	0,1536	0,4096	0,4096

Проверка: 0,0016 + 0,0256 + 0,1536 + 0,4096 + 0,4096 = 1.

б) Вероятность событий 1 £ х £ 3 и х > 3 равны:

р (1 £ х £ 3) = р ({1,2,3}) = р₁ + р₂ + р₃ = 0,0256 + 0,1536 + 0,4096 = 0,5888;

р(х > 3) = р ({4}) = р₄ = 0,4096.

в) Многоугольник распределения представлен на рисунке 11.

Если возможными значениями дискретной случайной величины х являются 0, 1, 2, …, n, а соответствующие им вероятности вычисляются по формуле Бернулли:

, k = 0,1,…n; q = 1- p,

то говорят, что случайная величина х имеет биномиальный закон распределения:

xi			…	n
pi	pn(0)	pn(1)	…	pn(n)

Рассмотренная выше в примере 1 случайная величина х имеет биномиальный закон распределения, в котором n = 4, p = 0,8.

Пример 2. В урне 7 шаров, из которых 4 белых, а остальные черные. Из этой урны наудачу извлекаются 3 шара; х – число извлеченных белых шаров. Найдите закон распределения дискретной случайной величины х и вероятность события х ³ 2.

Решение. Возможные значения случайной величины х: 0, 1, 2, 3. Соответствующие им вероятности р₀, р₁, р₂, р₃ подсчитываем классическим способом:

; ;

;

Закон распределения х:

xi
pi

Вероятность события х ³ 2 равна:

р (х ³ 2) = + = .

Пусть заданы натуральные числа m, n, s, причем m£ s £ n. Если возможными значениями дискретной случайной величины х являются 0,1,2,…, m, а соответствующие им вероятности выражаются по формуле

p_k = p( x = k) = , k = 0,1,…,m,

то говорят, что случайная величина х имеет гипергеометрический закон распределения.

Случайная величина х из примера 2 имеет гипергеометрический закон распределения с n =7, s = 3, m = 4.

Другими часто встречающимися примерами законов распределения дискретной случайной величины являются:

геометрический

xi				…	k	…
pi	p1	p2	p3	…	pk	…

где p_k = q^k-1p, q = 1 – p (0 < p < 1);

Закон распределения Пуассона:

xi					…	k	…
pi	p0	p1	p2	p3	…	pk	…

, l - положительное постоянное.

Закон распределения Пуассона является предельным для биномиального при n ® ¥, p ® 0, np = l = const. Виду этого обстоятельства при больших n и малых p биномиальные вероятности вычисляются приближенно по формуле Пуассона:

, где l = np.

Пример 3. Завод отправил на базу 500 доброкачественных изделий. Вероятность повреждения каждого изделия в пути равна 0,002. Найдите закон распределения случайной величины х, равной числу поврежденных изделий, и найдите вероятности следующих событий:

А – повреждено менее 3 изделий;

В – повреждено более 2 изделий;

С – повреждено хотя бы одно изделие.

Решение. Возможные значения х: 0, 1, 2,..., 500; так как n = 500 велико, а р = 0,002 мало, то положив l = 500 × 0,002 = 1, вычислим вероятности

p_k = p(x = k)

приближенно по формуле Пуассона:

, k = 0, 1, 2,..., 500.

Закон распределения случайной величины х приближенно имеет вид:

xk					…	500
pk					…

или

xk					…	500
pk	0,368	0,368	0,184	0,061	…	0,000

Используя полученную таблицу, находим вероятности событий А, В и С:

p(A) = p(x < 3) = p ({0, 1, 2}) = 0,368 + 0,368 + 0,184 = 0,92.

p(B) = p (x > 2) = 1 – p(x £ 2) 1 – p ({0, 1, 2}) = 0,008.

p(C) = p (x ³ 1) = 1 – p(x £ 0) 1 – p ({0}) = 1 – 0,368 = 0,632.

Контрольное задание №10

1. Дискретная случайная величина х – число мальчиков в семьях с 5 детьми. Предполагая равновероятными рождения мальчика и девочки: а) найдите закон распределения х; б) постройте многоугольник распределения; в) найдите вероятности событий: А – в семье не менее 2, но не более 3 мальчиков; В – не более 3 мальчиков; С – более одного мальчика.

2. С вероятностью попадания при одном выстреле 0,7 охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более 4 выстрелов. Дискретная случайная величина х – число промахов. а) Найдите закон распределения х. б) Постройте многоугольник распределения. в) Найдите вероятности событий: x < 2; x £ 3; 1 < x £ 3.

3. 2 стрелка делают по одному выстрелу в одну мишень. Вероятность попадания для первого стрелка при одном выстреле – 0,5, для второго – 0,4. Дискретная случайная величина х –число попаданий в мишень. а) Найдите закон распределения х. б) Постройте многоугольник распределения. в) Найдите вероятность события х ³ 1.

4. В коробке имеются 7 карандашей, из которых 4 красные. Из этой коробки наудачу извлекаются 3 карандаша. а) Найдите закон распределения случайной величины х, равной числу красных карандашей в выборке. б) Постройте многоугольник распределения. в) Найдите вероятность события 0 < x £ 2.

5. Из 25 контрольных работ, среди которых 5 оценены на «отлично», наугад извлекают 3 работы. Найдите закон распределения дискретной случайной величины х, равной числу оцененных на «отлично» работ среди извлеченных. Чему равна вероятность события x > 0?

6. Дискретная случайная величина х имеет закон распределения:

xi					8
pi	0,2	0,1	0,3	p4	0,15

Чему равна вероятность Р₄ = Р (х = 5)? Постройте многоугольник распределения.

7. Имеются 5 ключей, из которых только один подходит к замку. Найдите закон распределения случайной величины х, равной числу проб при открывании замка, если испробованный ключ в последующих опробованиях не участвует.

8. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Из этой партии наудачу взято 2 детали. Найдите закон распределения случайной величины, равной числу стандартных деталей в выборке.

9. Дважды брошена игральная кость. Случайная величина х равна разности между числом очков при первом бросании и числом очков при втором бросании. Найдите закон распределения хи вероятность события 2 £ х £ 4.

10. Бросается игральная кость до первого появления шестерки. Случайная величина х равна количеству бросаний кости. Найдите закон распределения случайной величины х и вероятность события х £ 5.

Дата добавления: 2014-10-22