Характеристика кривых роста

В настоящее время насчитывается большое количество типов кривых роста, применяемых для моделирования экономических процессов. Эти кривые могут быть разделены на три класса в зависимости от того, какой тип динамики развития они хорошо описывают.

К первому классу относятся функции, используемые для описания процессов без предела роста. К этому классу функций относятся полиномиальные кривые и простая экспоненциальная кривая.

Ко второму классу относятся функции, используемые для описания процессов с пределом роста без точки перегиба. К этому классу функций относятся модифицированная экспонента.

К третьему классу относятся функции,используемые для описания процессов с пределом роста и имеющие точку перегиба. К этому классу функций относятся кривая Гомперца и логистическая кривая.

Рассмотрим основные характеристики отдельных типов кривых, наиболее часто используемых в эконометрическом моделировании.

Общий вид полиномов следующий:

,

где - параметры полинома. Параметры полиномов невысоких степеней могут иметь конкретную интерпретацию в зависимости от содержания временного ряда. Например, их можно трактовать как оценки скорости роста (параметр ), ускорения роста (параметр ), изменения ускорения (параметр ), уровень ряда при t=0 (параметр ).

Обычно в экономических исследованиях применяются полиномы первого, второго и третьего порядка. Использовать для выделения тенденции полиномы высоких степеней нецелесообразно, поскольку полученные таким образом аппроксимирующие функции будут отражать случайные отклонения, что противоречит смыслу тенденции.

Полином первой степени

на графике изображается прямой линией и используется для описания процессов, развивающихся во времени равномерно. Если для полинома первой степени рассчитать первые приросты по формуле , то они будут постоянной величиной и равны .

Полином второй степени

применяется в тех случаях, когда процесс развивается равноускоренно (рис.3.1.).

Рис.3.1. График полинома второй степени и ее приростов

Первые конечные разности этой параболы (приросты первого порядка) линейно зависят от времени:

.

Вторые конечные разности постоянны, т.е.

.

Полином третьей степени

может дважды изменять знак прироста ординат (рис.3.2.).

Рис. 3.2. График полинома третьей степени ее приростов

Приросты первого порядка данной параболы

представляют собой параболу второго порядка, приросты второго порядка изменяются линейно, т.е.

Приросты третьего порядка – постоянные величины

.

Таким образом, можно отметить следующие свойст­ва полиномиальных кривых роста:

• от полинома высокого порядка путем расчета по­следовательных разностей (приростов) можно перейти к полиному более низкого порядка;

• значения приростов для полиномов любого порядка не зависят от значений самой функции .

Можно отметить такие преимущества полиномов низкой степени, как большая гладкость, простота толкования и записи. В случае, если степень полинома недостаточна, то возникает смещение в оценке тренда. Недостатком полиномов высоких степеней является неустойчивость параметров по отношению к выборочным ошибкам.

Полиномиальные кривые роста можно использовать для аппроксимации и прогнозирования экономических процессов, в которых последующее развитие не зависит от достигнутого уровня. Такие процессы характерны для большинства объемных показателей.

В отличие от полиномиальных кривых для экспоненциальных кривых характерна зависимость приростов от значений самой функции. Эти кривые хорошо описывают процессы, имеющие лавинообразный характер, когда прирост зависит от достигнутого уровня функции, при этом различного рода ограничения для роста не оказывают сколько-нибудь заметного влияния.

Из многочисленного класса экспоненциальных функций для моделирования экономических процессов чаще всего применяются две разновидности экспоненциальных кривых – простая экспонента и модифицированная экспонента.

Простая экспонента имеет вид:

где а и b — положительные числа, при этом если b больше единицы, то функция возрастает с ростом времени t, если b меньше единицы — функция убывает. Параметр а характеризует начальные условия развития, а параметр b – постоянный темп роста (рис.3.3., рис.3.4).

Рис.3.3. Экспонента , b>1. Рис.3.4. Экспонента , b<1.

Характерными особенностями простой экспоненциальной кривой являются постоянные темпы роста и прироста, т.е.

темп роста равен ,

темп прироста .

Прологарифмировав выражение для данной функции по любому основанию:

,

и приняв и , получим

.

Таким образом, логарифм ординаты простой экспоненты линейно зависит от времени (рис. 3.5).

Рис. 3.5. График логарифмы ординаты простой экспоненты

Простая экспоненциальная кривая имеет асимптоту, например, ордината y_t стремится к нулю, при t→-∞, если b> 1, и y_t→0 при t→∞, если b<1, т.е теоретически ордината может принимать любое значение, кроме нуля.

Простая экспонента, так же как и полиномы, используется для описания монотонно возрастающих или убывающих процессов без насыщения, их рост ничем не ограничен.

В случае, когда процесс характеризуется насыщением, его следует описывать при помощи кривой, имеющей асимптоту, отличную от нуля. Такие процессы характерны для многих относительных показателей: среднедушевое потребление продуктов питания, затраты на рубль произведенной продукции, расход удобрений на единицу площади и т.п. К этому классу кривых относится модифицированная экспонента:

,

где - асимптота, т.е. значения функции неограниченно при­ближаются к величине k, но никогда ее не пересекают. Параметр а равен разности между ординатой кривой (при t=0) и асимптотой. Если a<0, то асимптота находится выше кривой, если a>0, то асимптота находится ниже ее. Параметр b равен отношению последовательных приростов. На рис. 3.6. показаны четыре варианта кривой. Для экономических процессов наиболее характерными являются варианты, когда a<0, b<1, при этом рост ординаты происходит с замедлением и уровень стремиться к некоторому пределу.

Рис. 3.6. График модифицированной экспоненты

Логарифмы приростов ординат модифицированной экспоненты линейно зависят от времени. Для этого определим значения приростов этой функции

.

Полученное выражение прологарифмируем и в результате получим выражение

.

Отношение последовательных приростов данной кривой для равноотстоящих во времени уровней равны между собой, т.е.

.

В экономике распространены процессы, которые сначала растут медленно, затем ускоряются, а затем снова замедляют свой рост, стремясь к какому-либо пределу. В качестве примера можно привести процесс ввода некоторого объекта в промышленную эксплуатацию, процесс изменения спроса на товары, обладающие способностью достигать некоторого уровня насыщения, и др. Для моделирования таких процессов используются так называемые S-образные кривые роста.Среди них наиболее часто выделяют кривую Гомперца и логистическую кривую.

Кривая Гомперцаимеет вид:

,

где а, b — положительные параметры, причем b<1; k — асимптота функции. Кривая не симметрична. На рис. 3.7 приведены четыре варианта этой кривой.

Рис. 3.7 Кривая Гомперца

Если логарифм параметра а отрицателен, то верхний предел для ординаты равен k, нижний равен 0. Если логарифм параметра а положителен, то асимптота проходит ниже кривой. Для решения экономических задач наибольший интерес представляет кривая Гомперца, у которой loga<0 и b<1. В кривой Гомперца можно выделить четыре этапа в развитии уровня. Если b< 1и loga<0, то на первом этапе — прирост функции незначителен, причем он медленно увеличивается по мере роста t, на втором этапе — прирост увеличивается, на третьем этапе, после перегиба, прирост начинает уменьшаться, на четвертом — вблизи асимптоты приросты незначительны и функция неограниченно приближается к значению k. В результате конфигурация кривой напоминает латинскую букву S.

В кривой Гомперца отношение последовательных приростов ординат в логарифмах постоянно при равномерном распределении ординат по оси времени:

.

Логарифм данной функции представляет собой модифицированную экспоненту:

.

Линейным по времени для данной кривой является логарифм отношения первого прироста к самой ординате функции:

.

Кривой Гомперца описывается, например, динамика показателей уровня жизни, модификации этой кривой используются в демографии для моделирования показателей смертности и др.

Уравнение логистической кривойили кривой Перла—Рида (рис. 3.8) можно получить, введя в модифицированную экспоненту вместо величину, обратную ей, т.е.

Рис. 3.8. Логистическая кривая

Наиболее распространенная форма записи уравнения логистической кривой следующая:

,

где а и b —параметры; k — верхний предел функции при бесконечном возрастании времени. При t→-∞ функция стремиться к нулю, при t→∞ функция стремиться к асимптоте. Логистическая кривая симметрична относительно точки перегиба, координатами которой являются:

; .

Параметр b определяет место кривой на временной оси, а – крутизну серединной части кривой. Линейным относительно времени для логистической кривой является логарифм отношения первого прироста функции к квадрату ее значения (ординаты):

,

где - производная функции

.

Если b= 1и вместо основания натуральных логарифмов взять основание десятичных логарифмов, то получим другой вид логистической кривой:

.

С помощью логистической функции хорошо описывается развитие новой отрасли и нового производства. Сначала технические методы производства не достаточно разработаны, издержки производства высоки и спрос на данный товар на рынке еще очень мал, поэтому производство развивается медленно. В дальнейшем, благодаря усовершенствованию технологии изготовления, переходу к массовому производству и увеличению емкости рынка производство растет быстрее. Затем наступает период насыщения рынка, рост производства все более замедляется и наконец, почти прекращается. Наступает стабилизация производства на определенном уровне. Рассмотренные особенности и свойства кривых помогут правильно выбрать кривую роста.

Дата добавления: 2014-10-22