Прогнозирование по одномерным рядам

Практическая реализация методов прогнозирования

Повышение качества управления на предприятиях и в банковских структурах предполагает не только проведение качественного финансового анализа, но и во многом зависит от способности прогнозировать направление деятельности и финансовых потоков, а также обеспечивать взвешенный подход в смежных областях экономики.

Необходимо постоянно оценивать возможное финансовое положение хозяйствующего субъекта при условии сохранения избранной политики управления и с учетом тенденций, складывающихся на финансовом рынке. Это нужно для того, чтобы вовремя заметить намечающиеся трудности и принять меры по их преодолению. Грамотное решение данной задачи, как правило, невозможно без применения современных методик расчетов, основанных на экономико-математическом анализе и прогнозировании деятельности хозяйствующего субъекта. Так как любой прогноз носит вероятностный характер, то целесообразно определять границы доверительных интервалов для прогнозных значений. В этой ситуации именно получение прогноза в форме доверительного интервала и даст оценку перспектив в ближайшем будущем.

Проведем анализ временных рядов, характеризующих деятельность коммерческого банка, охватывающих период порядка 36 месяцев. Данный банк можно отнести к группе средних и мелких банков с неразвитой филиальной сетью. Значительную долю в клиентуре рассматриваемого банка занимают предприятия, ориентированные на внутренние сектора экономики. Предприятия из-за недостатка собственных средств для формирования оборотных активов имеют устойчивую потребность в банковском кредите, что и обеспечивает банку каналы доходного размещения средств. В значительной мере рост банка также обусловлен за счет выпуска собственных векселей и привлечения вкладов населения. Первое направление связано с активным участием банка в схемах вексельных расчетов между предприятиями. Второе направление - с необходимостью привлечения ресурсов для наращивания кредитов реальному сектору и портфеля ценных бумаг.

В работе предприятий реального сектора экономики, как правило, происходит изменение объемов производства в связи с изменениями времен года, и во временных рядах, отражающих функционирование банка, отмечены сезонные изменения.

Проанализируем временные ряды по основным банковским операциям - объемы предоставленных кредитов и операции с ценными бумагами (выпущенные банками ценные бумаги).

Визуальный анализ графиков, построенных обычным способом и методом наложения, позволяет выдвинуть гипотезу о наличии сезонных изменений уровней (рис. 9.4- 9.7).

Рис. 9.4. Кредиты коммерческого банка

Рис. 9.5. Кредиты коммерческого банка

Рис. 9.6. Выпущенные банком ценные бумаги

Рис. 9.7. Выпущенные банком ценные бумаги

Для подтверждения данного предположения применим специальные математические критерии: дисперсионный, гармонический и критерий, основанный на сравнении распределении коэффициента автокорреляции с распределением циклического коэффициента автокорреляции. Предварительно исключим тренд из временных рядов (рис. 9.8, 9.9).

Рис.9.8. Выделение тренда в ряду «Кредиты»

Рис.9.9. Выделение тренда в ряду «Ценные бумаги»

Результаты аппроксимации временных рядов полиномами представлены в таблице 9.1.

Таблица 9.1

Аппроксимация временных рядов полиномами

Ряд	Название временного ряда	Вид аппроксимирующего полинома
	Кредиты
	Ценные бумаги

После устранения тренда из временных рядов выявим наличие сезонных колебаний в рядах остаточной компоненты. Подробный анализ выявления сезонных колебаний на примере временного ряда «Ценные бумаги, выпущенные коммерческим банком» рассмотрен в параграфе 4.2. Далее в таблицах 9.2 – 9.4. приведены результаты анализа по всем трем критериям.

Таблица 9.2

Таблица анализа по дисперсионному критерию

Ряд	Название временного ряда	Fрасч.	Fтабл. При a=0,05	Факт присутствия в остаточном ряду сезонных колебаний
	Кредиты	1,300	2,216	Не подтверждается
	Ценные бумаги	2,570	2,216	Подтверждается

Наличие колебаний в ряду «Кредиты» по дисперсионному критерию подтверждается при вероятности 72%. В ряде «Кредиты» выявлены колебания с периодичностью 18, 12 и 6 месяцев, наиболее значимы колебания с периодом в 6 месяцев. В ряде «Ценные бумаги» выявлены колебания с периодичностью 18, 12 и 6 месяцев, наиболее значимы также колебания с периодом в 6 месяцев.

Таблица 9.3

Таблица анализа коэффициента автокорреляции

Ряд	Название временного ряда	Коэффициент автокорреляции	Критическое значение циклического коэффициента при a=0,05	Факт присутствия в остаточном ряду сезонных колебаний
	Кредиты	0,551	0,239	Подтверждается
	Ценные бумаги	0,701	0,239	Подтверждается

Таблица 9.4

Таблица анализа гармонических статистик

Ряд	Название временного ряда	Номер гармо-ники	Период	Fрасч.	Fтабл. При a=0,05	Факт присутствия в остаточном ряду сезонных колебаний
	Кредиты			4,940 3,613 7,338	3,29	Подтверждается
	Ценные бумаги			5,924 5,985 6,387	3,29	Подтверждается

Таким образом, проведенный анализ подтверждает наличие колебаний во всех рассматриваемых временных рядах, в рядах «Кредиты» и «Ценные бумаги» колебания являются сезонными, так как завершаются в течение года.

Устранив тенденцию из рядов с помощью полиномов, получим ряды остатков (рис. 9.8, 9.9). Ряды остатков содержат в себе периодические (сезонные) колебания и остаточную компоненту. Выделим сезонную составляющую, используя разложение в ряд Фурье, т.е. представляя ее в виде гармоник определенной амплитуды и частоты. Разложение в ряд Фурье произведем только по значимым гармоникам, используя результаты гармонического анализа (табл. 9.4). Модели сезонной волны представлены в таблице 9.5.

Таблица 9.5

Модели сезонной волны

Ряд	Название временного ряда	Модель сезонной волны
	Кредиты
	Ценные бумаги

На рис. 9.10 и 9.11 показаны сезонные волны, представленные рядом Фурье, исследуемых тренд-сезонных рядов. По графику можно получить наглядное представление о широте амплитуды, характере и продолжительности цикла, определить его начало и окончание.

Рис. 9.10. Сезонная волна выдаваемых кредитов

Рис. 9.11. Сезонная волна выпущенных банком ценных бумаг

При сравнении исходных рядов остатков, содержащих периодическую и случайную компоненты, с рядом полученным разложением на гармонические составляющие, видно, что, функции , описывающие периодические колебания, достаточно точно улавливают колебания во временном ряду.

Наглядное представление о характере изменения сезонности также дает сезонная волна, построенная на основе индексов сезонности. Индексы сезонности были получены делением членов исходного ряда на трендовую составляющую. Для устранения случайных колебаний на сезонность были вычислены средние сезонные колебания (сезонная волна) (рис. 9.12, 9.13).

Рис. 9.12. Сезонная волна выдаваемых кредитов (по индексам)

Рис. 9.13. Сезонная волна выпущенных банком ценных бумаг

(по индексам)

Во временном ряде кредитов (рис.9.12) видно два пика – максимальное значение индекса сезонности в январе месяце (106%) и в июле (105,9%). Минимальный объем выданных кредитов приходится на апрель месяц (91,4%).

Во временном ряде ценных бумаг (рис.9.13) отчетливо виден один максимальный пик, который приходится на июль месяц (126%), минимальное значение индекса сезонности приходится на ноябрь месяц (84%).

Наибольшей уровень сезонности наблюдается в выпущенных банком ценных бумагах, например, векселей, что объясняется состоянием повышенной потребности в денежных средствах клиентов банка летом, например торговых компаний. Заметим, что в ходе проведения операций с векселями коммерческие банки могут аккумулировать значительное количество векселей. Достоинством векселя является точно установленная ликвидность по срокам, вексельный портфель может явиться для банка надежной статьей его актива, более устойчивой, чем другие ценные бумаги.

Для каждого временного ряда были построены модели с аддитивной и мультипликативной связью между трендовой и сезонной составляющими:

I – обобщенная аддитивная модель;

II– обобщенная мультипликативная модель;

III – адаптивная модель Хольта-Уинтерса с аддитивными коэффициентами сезонности;

IV – адаптивная модель Хольта-Уинтерса с мультипликативными коэффициентами сезонности.

Таблица 9.6

Кредиты

№	Модель	Критерий серий	Крите-рий Дарбина-Уотсона	Значе-ние RS Крите-рия	Сред- няя ошибка аппрок-симации
I		Kmax =8 V =9	0,548	3,207	6,08
II		Kmax =6 V =8	0,569	4,03	3,91
III		Kmax =4 V =15	1,75	4,71	4,71
IV		Kmax =4 V =15	1,6	3,86	3,86

В таблицах 9.6-9.7 приводятся результаты оценки моделей на адекватность и точность. Проверка модели на адекватность исследуемому процессу проводилась на основе различных статистических критериев, основанных на анализе ряда остатков:

1. Проверка случайности уровней с помощью критерия «серий»;

2. Проверка независимости уровней с помощью критерия Дарбина-Уотсона;

3. Проверка соответствия нормальному закону распределения по RS- критерию.

Точность модели оценивалась по средней относительной ошибке аппроксимации, вычисленной для всего участка построения модели.

Для временного ряды «Кредиты» модели I и II являются неадекватными, не выполняются свойства случайности и независимости остатков. Адаптивные модели III и IV (рис. 9.14 и 9.15) являются адекватными, модель с коэффициентами сезонности, имеющими мультипликативный характер, является более точной.

Рис.9.14. Адаптивная модель Хольта-Уинтерса с аддитивными

коэффициентами сезонности

Рис.9.15. Адаптивная модель Хольта-Уинтерса с мультипликативными

коэффициентами сезонности

Таблица 9.7

Ценные бумаги

№	Модель	Критерий серий	Крите-рий Дарбина-Уотсона	Значе-ние RS Крите-рия	Сред- няя ошибка аппрок-симации
I		Kmax =9 V =9	0,501	3,65	8,37
II		Kmax =10 V =10	0,45	3,62	9,48
III		Kmax =6 V =16	1,91	5,35	6,91
IV		Kmax =4 V =17	1,69	4,33	6,95

Для временного ряда «Ценных бумаг» модели I и II являются неадекватными, не выполняется свойство случайности и наблюдается автокорреляция остатков. Адаптивная модель III с коэффициентами сезонности аддитивного характера также является неадекватной, ряд остатков не соответствует нормальному закону распределения. Построить адекватную модель с аддитивными коэффициентами сезонности для временного ряда «Ценные бумаги» не удалось. Адаптивная модель с коэффициентами сезонности мультипликативного характера (рис. 9.16) является адекватной и показывает хорошее качество аппроксимации.

Рис.9.16. Адаптивная модель Хольта-Уинтерса с мультипликативными

сезонными коэффициентами

Таким образом, можно сделать вывод, что использование обобщенных аддитивной и мультипликативной моделей в данном случае не приводит к желаемому результату. Это объясняется тем, что представление сезонной составляющей дается по осредненной волне, в действительности же для сезонной волны характерно изменение во времени ее формы и размаха. Использование данных моделей для прогнозирования возможно только в случае, если сезонность носит постоянный характер.

Отметим, что в случае представления сезонной компоненты гармониками, следует учитывать, что чем больший период берется для представления функции, тем сильнее будет осреднена амплитуда колебаний. При эволюционном характере изменения сезонной волны, амплитуды, полученные по средней волне, будут менее соответствовать амплитудам будущего периода. В таком случае лучше брать небольшой период, предшествующий прогнозируемому.

Для отображения эволюционного характера изменения сезонной волны хорошие результаты дало применение адаптивных методов.

На основании проведенного анализа для каждого временного ряда выберем лучшие, с точки зрения качества, модели для прогнозирования. Для временного ряда «Кредиты» – модель IV, для временного ряда «Ценные бумаги» – модель IV.

Интервальное оценивание проведено с соответствии с алгоритмом, представленным на рис. 9.3 по формулам, учитывающим сезонную колеблемость уровней временного ряда. В таблицах 9.8-9.9 приведены результаты точечного и интервального прогноза показателей с вероятностью 70%.

Таблица 9.8

Кредиты

Вид модели	Упреждение	Прогноз	Нижняя граница	Верхняя граница
Модель IV		155995,737 152395,777 144957,341 137615,719 147757,251 153021,822 166556,271 163883,313 160835,044 164476,097 161927,508 174417,696	147408,1 143970,7 136907,9 1299938,7 139475,1 144402,1 157126,1 154555,6 151631,2 155011,5 152556,4 164264,8	165083,7 161313,9 145746,3 156531,3 162156,1 176552,4 170597,6 174518,6 171874,2 185198,1

Таблица 9.9

Ценные бумаги

Вид модели	Упреждение	Прогноз	Нижняя граница	Верхняя граница
Модель IV		33185,560 31661,920 29021,864 27798,385 29897,144 35206,248 37446,496 33758,656 29326,806 25719,799 22717,180 24842,608	2996,5 2871,1 2643,1 2543,0 2747,9 3251,5 3475,8 3149,7 2750,8 2425,5 2154,4 2369,6	3293,9 3157,5 2907,9 2799,1 3026,0 3582,4 3831,5 3473,8 3035,5 2678,1 2380,1 2619,4

В соответствии с полученными прогнозными оценками на периоде прогнозирования будет иметь место рост показателей с сезонными колебаниями уровней. В модели IV, построенной для временного ряда «Кредиты», ширина доверительного интервала находится в пределах от 5,5% до 6,1%. В модели IV, построенной для временного ряда «Ценные бумаги», ширина доверительного интервала изменяется от 9% до 10,5%. Данный ряд характеризуется наиболее сильно выраженной сезонностью, максимум колебаний приходится на июль месяц. Ширина доверительного интервала для июля составляет 9,5%, она больше, чем у стоящих рядом уровней.

Дата добавления: 2014-10-22