Коэффициент ранговой корреляции Спирмена

Метод ранговой корреляции

В практике иногда встречаются случаи, когда необходимо установить тесноту связи между порядковыми (ординальными) переменными (например, качество жилищных условий, тестовые баллы, экзаменационные оценки и т.д.). В этом случае объекты анализа упорядочивают или ранжируют по степени выраженности измеряемых переменных. При этом каждому объекту присваивается определенный номер, называемый рангом. Если объекты ранжированы по двум признакам, то имеется возможность оценить тесноту связи между переменными, основываясь на рангах, т.е. тесноту ранговой корреляции.

Рассмотрим, например, результаты группы кандидатов на рабочую вакансию при прохождении ими двух оценочных тестов. Один из кандидатов получил 19 по математике и 17 по логике речи. Означает ил это на самом деле, что этот кандидат более силен в математике, чем в логике? Сравнимы ли эти результаты напрямую? Теперь рассмотрим результаты теста по математике. Кандидат А получил 12 баллов, а кандидат Д – 18 баллов. Другими словами, кандидат Д получил на 50% баллов больше, чем кандидат А. Говорит ли это о том, что Д на 50% лучше А? Вряд ли. Скорее всего, единственное, что мы можем вывести из полученных ими баллов, это, то что Д показал себя лучше, чем А. Фактическая разница между полученными баллами менее значима и может привести к неверному истолкованию. В самом лучшем случае результаты тестов могут указать на относительные различия между кандидатами. Эти результаты тестов позволяют нанимателю расположить кандидатов в порядке их показателей. Так, например, в тесте по математике лучшим был кандидат З, вторым – Ж, и в конце списка – кандидат А. То есть результаты позволяют нам разнести кандидатов в порядке их показателей. Таким образом мы можем ранжировать кандидатов на основании их показателей в тесте по математике и проделать то же самое в том, что касается теста по логике речи. Зависимость между этими двумя последовательностями может быть определена путем вычисления коэффициента ранговой корреляции.

Практический расчет коэффициента ранговой корреляции Спирмена включает следующие этапы:

1) Сопоставить каждому из признаков их порядковый номер (ранг) по возрастанию (или убыванию).

2) Определить разности рангов каждой пары сопоставляемых значений.

3) Возвести в квадрат каждую разность () и суммировать полученные результаты ().

4) Вычислить коэффициент корреляции рангов по формуле:

где - число парных наблюдений.

При использовании коэффициента ранговой корреляции условно оценивают тесноту связи между признаками, считая значения коэффициента равные 0,3 и менее, показателями слабой тесноты связи; значения более 0,4, но менее 0,7 - показателями умеренной тесноты связи, а значения 0,7 и более - показателями высокой тесноты связи. Если ранги всех объектов равны (), то ρ=1, т.е. при полной прямой связи ρ=1. При полной обратной связи, когда ранги объектов по двум переменным расположены в обратном порядке ρ= -1.

При ранжировании иногда сталкиваются со случаями, когда невозможно найти существенные различия между объектами по величине проявления рассматриваемого признака: объекты, как говорят, оказываются связанными. Связанным объектам приписывают одинаковые средние ранги, такие, чтобы сумма всех рангов оставалась такой же, как и при отсутствии связанных рангов. Например, если четыре объекта оказались равнозначными в отношении рассматриваемого признака и невозможно определить, какие из четырех рангов (4, 5, 6, 7) приписать этим объектам, то каждому объекту приписывается средний ранг, равный. В модификациях формулы на связанные ранги вводятся поправки.

При проверке значимости ρ исходят из того, что в случае справедливости нулевой гипотезы об отсутствии корреляционной связи между переменными при n >10 статистика

имеет t-распределение Стьюдента с (n-2) степенями свободы. Поэтому ρ значим на уровне α, если, где - табличное значение t-значение Стьюдента, определенное на уровне значимости α при числе степеней свободы (n-2).

Коэффицент ранговой корреляции целесообразно применять при наличии небольшого количества наблюдений. Данный метод может быть использован не только для количественно выраженных данных, но также и в случаях, когда регистрируемые значения определяются описательными признаками различной интенсивности.

Задача 1.

Знания десяти студентов проверены по двум тестам: А и В. Оценки по стобалльной системе оказались следующими:

Тест А
Тест В

Найти коэффициент ранговой корреляции Спирмена между оценками по двум тестам.

Решение:

Присвоим ранги x_i и y_i оценкам по тестам:

Т.к. оценки по тесту А расположены в убывающем порядке, поэтому их ранги x_i равны порядковым номерам. Оценки по тесту В располагаем в убывающем порядке и присваиваем им ранги y_i.

Ранги xi
Тест А
Тест В
Ранги yi

Найдем разности рангов:

;;

;;

;;

;;

;.

Вычислим сумму квадратов разностей рангов:

.

Найдем искомый коэффициент ранговой корреляции Спирмена, учитывая, что n =10:

Таким образом, связь между оценками по двум тестам умеренной тесноты.

Задача 2.

Два контролера А и В расположили образцы изделий, изготовленных девятью мастерами, в порядке ухудшения качества. В скобках помещены порядковые номера изделий одинакового качества:

А			(3		5)	(6			9)
В						(6	7)

Найти выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена между рангами изделий, присвоенными им двумя контролерами.

Решение:

Учитывая, что ранги изделий одинакового качества равны среднему арифметическому порядковых номеров изделий:

Напишем последовательности рангов, присвоенные изделиям контролерами:

xi						7,5	7,5	7,5	7,5
yi						6,5	6,5
xi- yi	-1				-1			-0,5	-1,5
								0,25	2,25

Найдем выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена, учитывая, что

n =9:.

Дата добавления: 2014-10-22