Метод главных факторов

Модель факторного анализа

Основная задача факторного анализа

Основной задачей факторного анализа является переход первоначальной системы большого числа взаимосвязанных факторов относительно малому числу скрытых (латентных) факторов k<m. Очень часто такие факторы или неизвестны заранее, или не поддаются непосредственному измерению.

Например, производительность труда на предприятиях зависит от множества факторов (образовательного уровня сотрудников, коэффициента сменности оборудования, электровооруженности труда, возраста оборудования, количества мест столовых и т.п.), из которых многие факторы связаны между собой. Используя факторный анализ, можно установить влияние на рост производительности труда лишь нескольких обобщенных факторов (например, размера предприятия, уровня организации труда, характера продукции), непосредственно не наблюдавшихся.

Основная модель факторного анализа записывается следующей системой равенств:

,,

где

λ_ij - постоянные величины, называемые факторными нагрузками,

F_j - общие факторы, используемые для представления всех m исходных переменных,

e_i - специфические факторы, уникальные для каждой переменной.

Задачами факторного анализа являются: определение числа общих факторов, определение оценок λ, определение общих и специфических факторов.

Для получения оценок общностей и факторных нагрузок используется эмпирический итеративный алгоритм, который сходится к истинным оценкам параметров.

Первоначальные оценки факторных нагрузок определяются с помощью метода главных факторов. На основании корреляционной матрицы R формально определяются оценки главных компонент:

Оценки общих факторов ищутся в виде:

где

λ_i - соответствующее собственное значение матрицы R.

Оценками факторных нагрузок служат величины

где

a_ij - оценки α_ij,

L_ij - оценки λ_ij.

Оценки общностей получаются как

На следующей итерации модифицируется матрица R - вместо элементов главной диагонали подставляются оценки общностей, полученные на предыдущей итерации; на основании модифицированной матрицы R ищутся оценки главных факторов, факторных нагрузок, общностей, специфичностей. Факторный анализ можно считать законченным, когда на двух соседних итерациях оценки общностей меняются слабо.

Примечание. Преобразования матрицы R могут нарушать положительную определенность матрицы R и, как следствие, некоторые собственные значения R могут быть отрицательными.

Для лучшей интерпретации полученных общих факторов к ним применяется процедура варимаксного вращения.

Если факторный анализ ведется в терминах главных компонент, то значения факторов могут быть вычислены непосредственно. Главные компоненты (без вращения) могут быть представлены в виде:

где

a _jp - коэффициенты при общих факторах,

λ _p - собственные значения,

x _j - исходные данные (вектор-столбцы),

F_p - главные компоненты (вектор-столбцы).

В случае вращения главных компонент соотношения, связывающие исходные переменные и значения факторов, несколько усложняются. Ниже в матричном виде приведено соотношение, оптимальное по скорости вычисления, а также независимое от метода вращения факторов:

где

B ^T - повернутая матрица A,

A - матрица коэффициентов при общих факторах,

Λ_m - диагональная матрица m собственных членов,

x - матрица исходных данных,

F - матрица m повернутых факторов.

При определении числа общих факторов руководствуются следующими критериями: число существенных факторов можно оценить из содержательных соображений, в качестве p берется число собственных значений, больших либо равных единице (по умолчанию), выбирается число факторов, объясняющих определенную часть общей дисперсии или суммарной мощности.

Факторный анализ широко применяется в экономике, социологии, медицине для выявления скрытых закономерностей в данных.

Вопросы и задания

1. Сформулируйте постановку задачи факторного анализа.

2. Сформулируйте математическую постановку задачи факторного анализа.

3. Какие шаги необходимо выполнить для решения задачи методом главных факторов.

4. Для каких целей можно использовать факторный анализ при построении регрессионных моделей?

5. Какой смысл имеют коэффициенты матрицы факторных нагрузок?

Глава 14. Кластерный анализ

Дата добавления: 2014-10-22