Т. (структура общего решения линейного дифференциального уравнения)

Свойства определителя Вронского.

Т.1. Если функции линейно зависимые на , то определитель Вронского, составленный из этих функций тождественно равен 0

Доказательство:

Т.2. Если система функции линейно независимая, эти функции являются частным решением линейного однородного дифференциального уравнения , то вронскиант этой системы функции ≠0.

О. Система из n -линейно независимых частных решений линейного однородного дифференциального уравнения n -го порядка называется фундаментальной системой решений этого уравнения.

Структура (вид) общего решения линейного однородного уравнения.

Рассмотрим дифференциальное уравнение 2-го порядка:

(1)

где и - непрерывные функции на

Если и являются независимыми решениями дифференциальных уравнений (у₁,у₂ – фундаментальная система решений дифференциального уравнения (1)), то общее решение данного уравнения находится по формуле:

(2)

где с₁ и с₂ = const,

у₁ и у₂ - частные решения.

Доказательство: для доказательства данной теоремы достаточно показать, что функции (2) удовлетворяет обоим условиям определения общего решения.

1) покажем, что функция (2) является решением уравнения (1) при любых с₁ и с₂

2) покажем, что для любых начальных условий и (3) существуют такие значения с₁ и с₂, что функция (2) будет удовлетворять данным начальным условиям.

Для нахождения с₁ и с₂ получаем систему,

т.к. и линейно независимые решения, то в силу условия линейной независимости вронскиант ≠0 => система имеет относительно с₁ и с₂ единственное решение.

Решив систему, получим:

и .

В формулу (2) подставим значение с₁ и с₂

эта функция удовлетворяет начальным условиям (3)

Итак, функция (2) удовлетворяет обоим условиям, определяющим общее решение.

Дата добавления: 2014-10-22