Математическое ожидание

Числовые характеристики случайных величин

Показательный (экспоненциальный)

Нормальный (закон Гаусса)

Нормальным (законом Гаусса) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью

,

где постоянные величины a и s - параметры распределения (положительная величина s характеризует степень «разброса» значений случайной величины, a – центр распределения).

Рис. 2.7.

Кривую распределения нормального закона называют нормальной кривой или кривой Гаусса (рис. 2.7).

Функция распределения для нормального закона имеет вид

.

Вероятность попадания в заданный интервал (a, b) случайной величины X, распределенной по нормальному закону, находят по формуле

P(a < X < b) = -,

где F(x) – функция Лапласа, определенная в п. 1.4.

Нормальный закон распределения очень часто встречается в практических задачах. Он проявляется во всех тех случаях, когда случайная величина является результатом действия большого числа различных факторов, причем влияние каждого фактора в отдельности незначительно. Примерами таких величин являются, например, отклонение действительных размеров деталей от номинальных, ошибки при измерении и др.

Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью

где постоянная положительная величина l - параметр распределения.

Функция распределения для показательного закона имеет вид

На рис. 2.8 и 2.9 изображены графики плотности вероятностей и функции распределения случайной величины, распределенной по показательному закону.

l Рис. 2.8.

Рис. 2.9.

Случайные величины, имеющие показательное распределение, возникают в теории массового обслуживания, теории надежности, в физике, биологии и т.д. Примером таких величин являются, например, время безотказной работы прибора, время между двумя последовательными вызовами на пункте скорой помощи и др.

Для теории вероятностей и ее приложений большую роль играют некоторые постоянные числа, получаемые по определенным правилам из законов распределения случайных величин. Эти постоянные служат для получения общей количественной характеристики случайных величин. Их называют числовыми характеристиками случайных величин. Рассмотрим основные из них.

Определение 2.7. Математическим ожиданием M(X) дискретной случайной величины X называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

Пусть дискретная случайная величина X задана своим рядом распределения

X	x 1	x 2	…	xn
p	p 1	p 2	…	pn

Тогда ее математическое ожидание

M(X) = x ₁ p ₁ + x ₂ p ₂ +…+ x_n p_n.

Если множество возможных значений дискретной случайной величины X счетно, то

M(X) =,

(2.4)

причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.

Определение 2.8. Математическим ожиданием M(X) непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку [ a, b ], а плотность вероятности равна f (x), называют определенный интеграл

M(X) =.

(2.5)

Если возможные значения непрерывной случайной величины X принадлежат всей оси OX, то

M(X) =.

Вероятностный смысл математического ожидания: математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Свойства математического ожидания случайной величины:

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания.

3. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий.

Следствие 2.5. Математическое ожидание суммы конечного числа случайных величин равно сумме их математических ожиданий.

4. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Следствие 2.6. Математическое ожидание произведения конечного числа взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

5. Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно 0.

Пример 2.11. Найти математическое ожидание случайной величины X, если известен ее ряд распределения

X	-2	-1
p	0,1	0,3	0,2	0,4

Решение. Используя формулу (2.4), получим

M(X) = -2×0,1 + (-1)×0,3 + 0×0,2 + 1×0,4 = -0,1.

Пример 2.12. Найти математическое ожидание случайной величины X, если известна ее плотность вероятности

Решение. Используя формулу (2.5), получим

M(X) = = = = 0.

Дата добавления: 2014-10-22