Десяткова система числення

3 6 2 8 9

5 7 3 4

2) 362,89D=11 0110 0010, 1000 1001 B-D

(у десятковій системі вони відповідають числам 10,11, 12, 13, 14, 15) використовуються букви латинського алфавіту—

A,B,C,D,E,F.

Перехід від шістнадцятирічної системи до двійкової (і назад) так само простий, як перехід від восьмирічної до двійкової.Тільки в цього разі кожну шістнадцятирічну цифру потрібно заміняти відповідно їй двійковій тетраді. Неповні тетради доповнюються нулями. Розбивку роблять для цілої частини числа — справа наліво, а дробової — зліва направо від коми. Кожну з цих тетрад (груп) позначають символом відповідно до табл.4

табл. 4:

Десяткові	Шістнадця-	Двійковий	Десяткові	Шістнадця-	Двійковий
цифри	трічний	запис	цифри	тирічний	запис
	запис			запис
				А
				В
				С
				D
				E
				F

Приклади:

1) 15D = FH;

2) 31D = 1x 16¹ +15x16⁰ =1FH;

3) 167D=10x16¹+7x16⁰=A7H;

4) 6CH=0110 1100B;

6 C

5) 11111011111B=0111 1101 1111 B = 7DFH;

7 D F

6) 11101001000,11010010B=

=0111 0100 1000, 1101 0010=748,D2H.

7 4 8 D 2

Тренування:

I. Порахуйте, скільки біт містять наступні вирази:

a) VELE, VIDE, VICI (прийшов, побачив, переміг — Ю. Цезар);

б) NIL VOLENTI DIFFICILE EST (нічого немає важкого, якщо є бажання);

в) NIHIL HUMANI A ME ALIENUM ESSE PUTO (ніщо людське мені не чужо — Теренций).

II. Скільки біт в одному гігабайті?

III. Середня швидкість читання учнів 9-11 класів складає 160 слів у хвилину. Підрахуйте, скільки байт інформації ви встигнете переробити за сім годин безупинного читання? Скільки це сторінок тексту?

IV. Ви вводите в ОЗП ЕОМ текст, читаючи його зі швидкістю 180 слів у секунду. Через який час обсяг пам'яті ЕОМ у 32 Кбайта буде повністтю заповнений?

V. Шкільна контролююча програма займає в ОЗУ комп'ютера 19 Кбайт пам'яті. Інструкція користувача в цій програмі міститься в одному кадрі дисплея розміром 24 рядка по 80 символів. Яку частину програми ця інструкція займає?

Винахід десяткової системи числення відноситься до головних досягнень людської думки (поряд з алфавітним листом). Без неї навряд чи могла існувати, а тим більше виникнути сучасна техніка

З'явилася десяткова система, імовірно, в Індії. Вибір графічних зображень для цифр, зрозуміло, не принциповий. Сучасні зображення цифр — проста стилізація древніх арабських цифр. Марокканський історик Абдель-кари Боужибар вважає, що арабським цифрам у їхньому первісному варіанті було додане значення в строгій відповідності з числом кутів, що утворюють фігури.

Справді, якщо подивитися на нижче подану схему, це припущення здається не позбавленим глибокого змісту (мал. 2).

Так, одиниця створює лише один кут, трійка — три, п'ятірка — п'ять і т.п. Нуль не утворить ніякого кута, тому він не має ніякого змісту.

мал.2

Усім нам ця система знайома з першого класу. Ми знаємо цей ряд чисел від 0 до 9. Виникнення десяткової системи числення пов'язують з рахунком на пальцях рук, яке не знайшло практичного застосування. З'ясувалося, що для повсякденної лічби була б зручнішою дванадцятирічна система (у ній добре записується третина і чверть). Були придумані назви для додаткових цифр і для круглих чисел (дюжина == 12 шт., грос — 12 дюжин). Але на дванадцятирічну систему люди не перейшли, щоб не перевчатися.

Усе-таки десяткова система здається нам і найпростішою, і самою зручною. Звернемося до принципів її організації.

Розглянемо яке-небудь число, наприклад 2358765. Кожна з цифр у даному числі несе подвійну інформацію: по перше, своє власне значення — 2, 3, 5 і т.д., а по друге — місце (позицію), що займає в записі числа (тобто розряд). Такі системи числення називаються позиційними.

Розіб'ємо наше число на розряди: 5 — у розряді одиниць;

6— у розряді десятків; 7 — у розряді сотень, тобто наше число може виглядати і так:

2х1000000 + 3х100000 + 5х10000 + + 8х1000 + 7х100 + 6х10 + 5х1.

Занумеруємо всі розряди справа наліво, причому звичний нам розряд одиниць будемо вважати нульовим; тоді розряд десятків буде першим, сотень — другим, тисяч — третім і т.д. Така нумерація дуже природня, оскільки одиниця -це 10°, десятки — 10¹; сотні — 10²; тисячі — 10³ і т.д., тобто розташування тієї чи іншої цифри в записі числа є не що інше, як пряма вказівка, яким ступенем 10 його можна замінити. А саме значення цифри показує, скільки разів треба взяти 10 у заданому ступені.

Зручність застосування восьмеричної системи при роботі з машинно-оріентированною інформацією полягає в тім, що перехід від восьмирічного запису числа до двійкової здійснюється дуже просто:

Кожну цифру восьмирічного запису варто замінити її двійковим представленням (відповідною двійковою тріадою, тобто трьох розрядним числом):

Наприклад: 1) 4750 = 100 111 101B

4 7 5

2)317,4030= 011 001 111,100 000 011B

3 1 7 4 0 3

Досить простий і зворотній перехід від двійкового представлення якого-небудь числа до восьмирічного.

Для цього в двійковому записі числа потрібно виділити тріаду (вліво і вправо від коми) і замінити кожну тріаду відповідною восьмирічною цифрою. У разі потреби неповні тріади доповнюються нулями.

Наприклад: 1) 1010110В = 001 010 110В = 126D

1 2 6

2) 11 110 100, 010 111 011 110 000 11 В=

011 110 100, 010 111 011 110 000 110В = 364,2736060

3 6 4 2 7 3 6 0 6

§ 7. Шістнадцятирічна система числення.

Двійково-десятковий код

Призначення шістнадцятирічної системи числення аналогічно восьмирічній — для компактного запису двійкових кодів чисел і команд. У цій системі числення дані (наприклад, зміст комірок пам'яті — нагадаємо, що це 8-розрядні двійкові числа) відображаються вже у вигляді усього двухрозрядних чисел, а адреси — у вигляді максимум чотирьохрозрядних.

Для запису чисел у цій системі необхідно шістнадцять різних символів, використовуємих як цифри. У якості перших десяти шістнадцятирічних цифр використовуються ті ж, що й у десятковій системі. Для позначення інших шести цифр

У восьмирічній системі числення числа записуються за

допомогою восьми цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,

сама вісімка (як і двійка в двійковій системі) записується сукупністю цифр «один» і «нуль» (10О, де буква О — позначає восьмирічну систему числення).

Приклади:

1) 502 О=5х8² + 0х8¹ + 2х8° = 5x64+0+2 = 320+2 = 322D;

2) 3602 О= 3х8³ + 6х8² + 0х8¹ + 2х8°= 3х512 + 6х64+0х8+2х1=1536+384+0+2=1992D

Для заміни десяткового цілого числа на рівне йому восьмирічне число використовується алгоритм послідовного ділення цього числа на 8.

Приклад:

Записати числа 317 і 1922 у восьмирічній системі числення:

Отже, маємо: 317D = 475О; 1922D = 3602О.

Розглянемо правило заміни двійкового числа на рівне йому восьмирічне, попередньо розглянувши таблицю, у якій кожній восьмеричній цифрі поставлено у відповідність тризначне двійкове число:

Таблиця 3

Восьмерична Цифра	Двійкове число	Восьмерична Цифра	Двійкове Число

Таким чином, остаточно наше число запишеться в наступному виді:

2х10⁶ + Зх10⁵ + 5х10⁴ + 8х10³ + 7х10² + 6х10¹ + 5х10°

.Якщо число має дробову частину, то розкладання додається сумою основ 10 з від’ємними ступенями. Наприклад:

321,409 = 3х10²+ 2x10¹+ 1х10⁰+ 4x10^-1+0x1O^-2+9х10^-3.

Дотепер деяке вживання має римська система числення. Це система непозиційна; скоріше, її варто назвати адитивною, оскільки число утвориться при додаванні і підрахуванні значень спеціальних значків.

I V Х L С D М

1 5 10 50 100 500 1000

III IV VI XL LX XC CIX

3 4 6 40 60 90 109

MCMXCIX = 1000 + (1000 - 100) + 90 + 9 == 1999

Але виконувати арифметичні дії з цими числами безнадійно. Спробуйте вирішити приклади, приведені нижче, і ви самі переконаєтеся в цьому. Уяви про десяткові (чи інші позиційні системи) та дроби в Древньому Римі не було.

У десятковій системі числення обчислював знаменитий французький вчений Блез Паскаль, що створив першу обчислювальну машину. Своє механічне рахункове колесо він зробив десятковим: у ньому було десять зубів. З тих пір у десятковій системі рахунок можна було здійснити не тільки вручну за допомогою 10 пальців, але і механічно — за допомогою 10 зубів колеса.

Потім та ж десяткова система «перекочувала» в електромеханічні рахункові машини. У них був застосований кроковий шукач з десятьма позиціями.

І перші ЕОМ користувалися все тими ж десятьма «пальцями» — десятьма тригерами. На десятковій системі числення працювала, наприклад, американська машина «Эніак». Але для неї було потрібно стільки коштовного устаткування, що конструктори стали шукати способи скоротити число тригерів.

В основу своїх пошуків інженери і математики поклали двійкову (двухпозиційну) природу елементів, «органів» обчислювальної техніки.

Питання:

1. Розповісти про одну з гіпотез виникнення арабських цифр.

2. З чим пов’язане виникнення десяткової системи числення?

3. У чому сутність позиційних систем числення?

4. Приведіть приклад адитивної системи числення.

5. Чи можуть існувати змішані позиційні системи?

Тренування:

I. Представте наступні десяткові числа у виді позиційного запису:

а) 576; б) 842,3; в) 1924,803; г) 10000; д) 0100,00; е) 0,002.

II. Маються позиційні записи десяткових чисел:

а) 8х10² + 5х10¹ + 3х10° + 7х10^-1 + 6х10^-2;

б) 0х10⁴ + 1х10³ + 8х10² + 4х10¹ + 0х10° + 0х10^-1 + 9х10^-2;

в) 9х10⁵ + 4х10³ + 3х10° + 4х10^-2 + 4х10^-3.

Чому дорівнюють самі числа?

III. Переведіть римський запис в арабський:

a) LX; б) XL; в) CXI; г) IXC; д) MDCCCXII; е) MCMLXI.

IV. Переведіть арабський запис чисел у римський:

а) 45; б) 55; в) 900; г) 1500; д) 1554; е) 1917.

Питання:

1. Сформулюйте правила додавання двійкових чисел.

2. За якими правилами виконується віднімання двійкових чисел?

3. Чи можна зтверджувати, що операція множення двійкових

чисел зводиться до операції додавання і зміщення?

4. Прочитайте таблицю множення двійкових чисел.

5. До чого зводиться операція ділення чисел у двійковій системі

числення?

Тренування:

I. Зробіть додавання двійкових чисел:

а) 111В + 101В;

б) 11011В +1110В;

в) 0010001В + 1011101В; г) 11111111В + 11111111В.

Зробіть перевірку цих дій у десятковій формі числення.

II. Виконайте віднімання двійкових чисел:

а) 111В — 101В;

б) 11011В — 01110В;

в) 10011010В — 1100101В;

г) 10101010В — 01010101В.

III. Виконаєте дії:

а) (11011101В + 10101110В) — 1011111В;

б) (10001000В — 11001В) + 1100011В.

IV. Помножте двійкові числа:

а) 111В х 101В;

б) 11011В х 1110В;

в) 100111В х 1001В;

г) 10101010В х 1010101В.

§ 6. Восьмирічна система числення і зв'язок її з двійковою і десятковою

Основний недолік двійкових чисел — висока надмірність оброблюваних чисел, громіздкість запису. Апаратні засоби ЕОМ накладають відомі обмеження на довжину двійкових чисел. Цілком очевидно, що використання їх для обробки чи адресації стає неможливим. Особливо це виявляється при зовнішньому представленні числової інформації (поза ЕОМ). Тому в сучасних комп'ютерах крім двійкової системи числення застосовують і інші, більш компактні по довжині чисел системи, зокремавосьмирічну.

Перевіримо правильність виконання попередніх прикладів:

Таблиця множення має дуже простий вид:

0 x 0 = 0

0 x 1 = 0

1 x 0 = 0

1 x1 = 1

Для множення використовуємо ті ж числа:

Як видно з приведених прикладів, множення двійкового числа на інше двійкове число зводиться до послідовного додавання кодів множеного, зміщених відносно один одного. Тим самим операція множення зводиться до двох інших операцій — додавання і зміщення.

Ділення чисел у двійковій системі подібне до виконання цієї операції в десятковій системі. Воно зводиться до послідовного віднімання дільника з діленого. Приведемо приклад, що дозволяє перевірити отриманий результат множення чисел:

§ 5. Двійкова система числення

У якій би формі не представлялася підлягаюча обробці інформація, вона в кінцевому рахунку повинна бути переведена комп'ютером на мову, доступну для автоматичної обробки. Мова комп'ютера — це мова чисел, причому чисел не звичайних (десяткових), а двійкових, алфавіт яких складається лише з двох цифр — 0 та 1. Двійкова система найбільш проста і зручна для

автоматизації. Наявність у системі усього лише двох символів спрощує їхнє перетворення в електричні сигнали.

Символи двійкової системи — 0 та 1 — можна передавати і записувати за допомогою електричного струму. Наприклад, змінюючи тривалість його протікання в ланцюзі: коротко — крапка, довше — тире, як в абетці Морзе. Можна змінювати напрямок струму: плюс — мінус. А можна змінювати амплітуду: є сигнал — одиниця, немає сигналу — нуль. Останній спосіб тому застосовується в обчислювальних машинах, що він надійний, а відсутність чи поява сигналу легко розрізняється в пристроях машини.

І нові машини стали «обчислювати» за допомогою О і 1.

Не думайте, що двійкова система — сучасниця електронних машин. Ні, вона набагато старше. Двійковим зчисленням люди цікавляться давно. Особливо сильним це захоплення було з кінця XVI до XIX століття. Знаменитий Г. В. Лейбніц вважав двійкову систему простою. І навіть на його прохання була вибита медаль на честь цієї «діадичної» системи (так тоді називалася двійкова система). Як же одержати запис числа в двійковій системі числення? Ви вже здогадалися: потрібно подати число як суму ступеня двійки і виписати коефіцієнти такого подання. При записі числа в різних системах числення користаються покажчиками основ використовуваних систем. Це може бути праворуч внизу маленька цифра, або наприкінці буква латинського алфавіту D, В, H, О:

D (decimal) — десятковий;

В (binary) - двійковий;

H (hexadcimal) — шістнадцятирічний;

О (octal) — восьмирічний.

Якщо вам зустрінеться число 35 чи 35D, то обидва записи позначають одне і теж: десяткове число — 35. Якщо ж число 100011, чи 100011В, то обидва числа позначають одне і теж двійкове число — 100011. Останнє читається так: «Один, нуль, нуль, нуль, один, один» у двійковій системі числення.

Наприклад:

58D == 1х2⁵ + 1х2⁴ + 1х2³ + 0х2² + 1х2¹ + 0х2° ==111010В;

53.375D = 1х2⁵ + 1х2⁴ + 1х2² + 1х2° + 1х2 ^-2 + 1х2 ^-3 = 110101,011В.

Двійкова система, як і звичайна десяткова, по своїй структурі відноситься до позиційних систем числення. Значення будь-якого числа визначається не тільки його розрядністю, кількістю позицій, але також «ваговим» значенням і алфавітом системи числення. Вагове значення позицій залежить від основи системи (тобто розряду) (табл. 1):

Таблиця 1

Вагові значення розрядів і коди чисел	Приклади десяткових чисел
2^7	2^6	2^5	2^4	2^3	2^2	2^1	2^0	2^-1	2^-2	2^-3
								0,5	0,25	0,125
							1,				53,375
							0,				0,25

Додамо тепер 7D + 4D.

Запис буде виглядати так:

+

100

Додавання двійкових чисел проводиться у відповідності з

наступними правилами:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

Дата добавления: 2014-10-23