Эмпирическое распределение признака y

Признака y

Эмпирическое распределение

Эмпирическая и теоретическая функции распределения

При выборочном исследовании распределение значений непрерывного признака y в генеральной совокупности неизвестно.

Образуем некоторую выборку значений признака у и построим по ней дискретный ряд распределения (табл. 1.10.1). Это распределение называется эмпирическим, так как оно получено эмпирически (измерением признака y у единиц выборки).

Таблица 1.10.1

Варианты -	Частоты -
	n

Для любого числа х из числового промежутка обозначим через число значений признака y в выборке, меньших числа х. Отношение является относительной частотой события: значение признака y меньше числа х.

Каждому числу х соответствует только одна относительная частота. Поэтому определена функция:

. (1.10.1)

Так как

,,…,

,, (1.10.2)

то, зная функцию (1.10.1), можно найти эмпирическое распределение относительных частот значений признака у. Поэтому функция (1.10.1) называется эмпирической функцией распределения.

Пример 1.10.1. Построим эмпирическую функцию распределения признака y, зная его распределение в выборке (табл. 1.10.2).

Таблица 1.10.2

Варианты -	Частоты -	Относительные частоты -
		0,2
		0,3
		0,5
		1,0

Объем выборки равен 60.

Значение признака y, меньшее числа 2, не наблюдалось. Поэтому и, следовательно, при.

Значение признака y, меньшее числа 6, т.е. наблюдалось 12 раз. Поэтому и, следовательно, при.

Значения признака y, меньшие числа 10, т.е. и наблюдались 12+18 =30 раз. Поэтому и, следовательно, при.

Так как - наибольшая варианта, то при и, следовательно, при.

Таким образом, эмпирической функцией данного распределения является функция

(1.10.3)

График функции (1.10.3) изображен на рис. 1.10.5.

F

x

1

0 2 6 10

Рис. 1.10.5. График функции (1.10.3)

Из формул (1.10.2) следует, что функция (1.10.3) определяет эмпирическое распределение с вариантами,, и соответствующими относительными частотами 0,2 (0,2-0), 0,3 (0,5-0,2), 0,5 (1-0,5).

Функция (1.10.1) обладает следующими свойствами:

1) функция определена на всей числовой оси;

2) функция - неубывающая;

3) если - наименьшая варианта, то при;

4) если - наибольшая варианта, то при.

При неограниченном увеличении объема выборки n относительная частота стремится к вероятности события: значение признака y меньше числа х, а функция (1.10.1) приближается к функции, значениями которой являются вероятности события: значение признака y меньше числа х.

Функция называется теоретической функцией распределения, она определяет теоретическое распределение значений признака y в генеральной совокупности.

В математической статистике доказывается, что теоретическая функция непрерывного распределения дифференцируема. Производная называется функцией плотности вероятностей, а ее график - теоретической кривой распределения.

При неограниченном увеличении объема выборки полигон относительных частот стремится к теоретической кривой распределения. Поэтому полигон относительных частот называется также эмпирической кривой распределения.

Теоретическое распределение можно рассматривать как математическую модель эмпирического распределения, в которой исключены влияния случайных факторов. С другой стороны, эмпирическую функцию распределения признака у в выборке можно использовать для приближенного представления теоретической функции признака у в генеральной совокупности.

Дата добавления: 2014-10-23