КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Непрерывность элементарных функций
Непрерывность элементарных функций в точке
Постоянная функция f (x) = С является непрерывной в любой точке числовой прямой. Действительно, f (x) = С = f (а), что соответствует определению непрерывности функции в точке. Функция f (x) = х непрерывна в каждой точке а числовой прямой, так как предел функции в точке а равен еезначению в этой точке: f(x) = а = f(a). Из сказанного выше и теоремы 3.7 следует, что в любой точке числовой прямой функции x2 = x ∙ x, x3 = x2 ∙ х,..., xn = xn-1 ∙ x (n — натуральное число) непрерывны. Алгебраический многочлен
также является непрерывной функцией в любой точке числовой прямой в силу теоремы 3.7, поскольку представляет собой сумму произведений непрерывных функций. Дробно-рациональная функция
где Р (x) и Q (x) — алгебраические многочлены, в силу теоремы 3.7 непрерывна во всех точках числовой прямой за исключением корней знаменателя. Тригонометрические функцииsin x, и cos x непрерывны в любой точке x числовой прямой. Непрерывность функций tg x = sin x / cos x и sec x = 1/ cos x соблюдается во всех точках, x ≠ π / 2 + n π; аналогично непрерывность функций ctg x = cos x / sin x и sec x = 1 / sin x обеспечена во всех точках x ≠ п π (n = 0, ±1, ±2,...). Рассмотренные выше функции непрерывны в каждой точке, в окрестности которой они определены. В силу теоремы 3.7 функции, получаемые из них при использовании конечного числа арифметических операций, являются также непрерывными.
Непрерывность функции на интервале и отрезке
Говорят, что функция f (x) непрерывна на интервале (а, b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Функция f (x) непрерывна на отрезке [ а, b ], если она непрерывна на интервале (а, b) и непрерывна в точке a справа, а в точке b слева:
Классификация точек разрыва функции
Точки разрыва, в которых функция не является непрерывной, классифицируются следующим образом. 1. Устранимый разрыв. Точка а называется точкой устранимого разрыва функции f (x), если предел функции в этой точке существует, но в точке а функция f (x) либо не определена, либо ее значение f (а) не равно пределу в этой точке.
Пример 1. Функция f(x) = в точке х = 0, как известно, имеет предел, равный единице (первый замечательный предел). Однако в самой точке х = 0 эта функция не определена, т.е. здесь разрыв первого вида. Этот разрыв можно устранить (потому он и называется устранимым), если доопределить функцию в этой точке значением предела в ней, т.е. ввести новую функцию
Функция f1 (x) является непрерывной на всей числовой прямой. 2. Разрыв первого рода. Точка а называется точкой разрыва первого рода функции f (x), если в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы:
. Пример 2. Рассмотрим функцию
для нее точка х = 0 является точкой разрыва 1-го рода. 3. Разрыв второго рода. Точка а называется точкой разрыва второго рода функции f (x), если в этой точке функция f (x) не имеет по крайней мере одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен. Пример 3. Для функции f(x) = 1/x точка х = 0 является точкой разрыва 2-го рода, поскольку . Пример 4. Для функции f (x) = sin (l/ x) точка х = 0 является точкой разрыва 2-го рода, так как ни левого, ни правого предела функции в этой точке не существует. Пример 5. Рассмотрим функцию f (x) = е 1/ x = ехр (рис. 3.8). Точка х = 0 является точкой разрыва 2-го рода для этой функции, так как предел слева равен нулю, а предел справа бесконечен:
Рис. 3.8
Дата добавления: 2014-10-15; Просмотров: 869; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |