КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Исследование функций и построение графиков
Признак монотонности функции
Одной из существенных характеристик функции является ее поведение на отдельных интервалах — возрастание или убывание. Это определяется приводимой ниже теоремой, доказательство которой мы опускаем. ТЕОРЕМА 2. Если функция f (x) дифференцируема и f'(x) ≥ 0 (f'(x) ≤ 0 ) на интервале (а, b), то она не убывает (не возрастает) на этом интервале. При f'(x) > 0 (f '(x) < 0) имеем признак строгой монотонности, т.е. функция возрастает (убывает). Геометрическая интерпретация связи знака производной функции и характера ее изменения очевидна (рис. 5.1): если углы наклона касательных на каком-то интервале являются острыми, то функция на этом интервале возрастает: tg φ > 0; при тупом угле наклона касательной функция убывает и tg φ < 0.
Точки локального экстремума Определение 1. Точка x0 называется точкой локального максимума (минимума) функции f (x), если для любого х ≠ x0 в некоторой окрестности точки x0 выполнено неравенство f(x0) > f(х) (f (x0) < f(x)). Локальный минимум и локальный максимум объединены общим названием локальный экстремум. ТЕОРЕМА 3 (необходимое условие существования локального экстремума). Если функция f(x) дифференцируема в точке x0 и имеет в этой точке локальный экстремум, то f'(x0) = 0. Геометрический смысл теоремы 5.3 указан на рис. 5.2: если в точках локальных экстремумов существуют касательные, то они параллельны оси Ох. Точки, в которых касательные параллельны оси Оx, а значит, производная равна нулю, называют точками возможного экстремума, или стационарными точками. Если x0 — точка возможного экстремума, т.е. f '(x0) = 0, то она может ине быть точкой локального экстремума. Например, для функции f (x) = x3 (рис. 3.1) производная при х = 0 равна нулю, однако в этой точке нет локального экстремума. Таким образом, теорема 5.3 не является достаточным условием существования локального экстремума.
ТЕОРЕМА 4 (достаточное условие существования локального экстремума). Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x0. Если при переходе через точку x0 слева направо производная f'(x) меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то в точке x0 функция f(x) имеет локальный максимум (минимум). Если же f'(x) не меняет знака в δ-окрестности точки x0, то данная функция не имеет локального экстремума в точке x0. Рассмотрим применение доказанных теорем на примерах нахождения точек локальных экстремумов функций. Пример 1. Найти точки локального экстремума и интервалы монотонности функции f (x) = х 3 — 7,5x 2 + 18 x. Решение. Сначала находим производную f '(x) = 3 x 2 — 15 x + 18. Приравнивая ее к нулю и решая уравнение х 2 — 5 х + 6 = 0, находим две точки возможного экстремума: x1 = 2 и x2 = 3. Нетрудно видеть, что f'(x) при переходе через точку x1 =2 меняет знак с "+" на "-", т.е. в этой точке имеет место локальный максимум; аналогично устанавливается, что в точке x2 = 3 функция f' (х) имеет локальный минимум. Найдем теперь интервалы монотонности данной функции (рис. 5.3). Поскольку f'(x) > 0 при х (-,2), то в силу теоремы 5.2 функция монотонно возрастает на этом интервале; (2, 3) является интервалом монотонного убывания f (x) (f'(x) < 0), а на интервале (3, +) функция монотонно возрастает (f '(x) > 0).
Пример 2. Найти размеры консервной банки, имеющей форму цилиндра (радиус r и высоту h) заданного объема V, при которых полная поверхность сосуда будет минимальной. Эта задача имеет производственный смысл: найти оптимальные размеры банки, при которых затраты материала на ее изготовление будут минимальны. Решение. Исходя из формулы объема цилиндра V = πr2h, выразим h:
Как известно, полная поверхность цилиндра дается формулой
Подставляя сюда формулу для h, получаем S как функцию от r:
Минимум этой функции найдем из условия S' (r) = 0, откуда получаем уравнение 2 r — V / π r 2 = 0. Из этого уравнения находим оптимальное значение r; его подставляем в формулу для h и окончательно вычисляем оптимальные размеры банки:
Например, при V = 0,33 л оптимальные размеры банки составят: диаметр дна ≈ 7,5 см и высота ≈ 7,5 см. Выпуклость и точки перегиба графика функции Определение 2. Будем говорить, что график функции y = f(x) имеет на интервале (а, b) выпуклость, направленную вниз (вверх), если он расположен не ниже (не выше) любой касательной к графику функции на (а, b) (рис. 5.4).
Способ определения направления выпуклости графика функции дается теоремой, приведенной ниже без доказательства.
ТЕОРЕМА 5. Если функция у = f(х) имеет на интервале (а, b) вторую производную и f"(x) ≥ 0 (f"(x) ≤ 0 ) на (а, b), то график функции имеет на (а, b) выпуклость, направленную вниз (вверх). Определение 3. Точка М (x0, f (x0)) называется точкой перегиба графика функции у = f(x), если в точке М график имеет касательную и существует такая окрестность точки x0, в пределах которой график функции f (x) имеет разные направления выпуклости. В точке перегиба касательная пересекает график функции, поскольку он переходит с одной стороны касательной на другую, т.е. "перегибается" через нее (рис. 5.5).
ТЕОРЕМА 6. (необходимое условие существования точки перегиба). Пусть график функции у = f (x) имеет перегиб в точке M(x0, f(x0)) и функция f(x) имеет в точке x0 непрерывную вторую производную. Тогда
Отметим, что не всегда условие f "(x0) = 0 означает наличие точки перегиба на графике функции у = f (x). Например, график функции у = x 2 n (п > 1) не имеет перегиба в точке (0, 0), хотя при х = 0 вторая производная равна нулю. Потому равенство (5.8) является только необходимым условием перегиба. Точки графика, для которых условие (5.8) выполнено, будем называть критическими. В каждой такой точке необходимо исследовать дополнительно вопрос о наличии перегиба; здесь имеется полная аналогия с существованием экстремума функции.
ТЕОРЕМА 7 (достаточное условие существования точки перегиба). Пусть в некоторой окрестности точки x0 вторая производная функции у = f(x) имеет разные знаки слева и справа от x0. Тогда график у = f(x) имеет перегиб в точке М(x0, f(x0)).
Теорема верна и для случая, когда f"(x) существует в некоторой окрестности точки x0 за исключением самой точки x0 и существует касательная к графику функции в точке М. Например, функция f (x) = x 1/3 в точке х = 0 имеет бесконечные производные; в точке O (0, 0) касательная совпадает с осью Оу. Однако график этой функции имеет перегиб в начале координат, поскольку вторая производная f"(x) = -2 /(9 x 5/3) имеет разные знаки слева и справа от точки х = 0 (рис. 5.6). Рассмотрим примеры: найти точки перегиба и направления выпуклости графиков следующих функций.
Пример 3. f (x) = ехр (- x 2). Решение. Последовательно находим f'(x)= -2 x exp(—x2), f"(x) = 2 exp (-x2)(2 x 2 — 1). Приравнивая вторую производную к нулю, получаем критические точки х = ± 1 /. Ввиду зависимости функции от х 2 достаточно исследовать точку x = l/. Нетрудно видеть, что при переходе через эту точку слева направо f"(x) меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, на левой ветви функции точка M 1(-1 / , e -1/2) является точкой перегиба графика функции со сменой выпуклости вниз слева на выпуклость вверх справа (рис. 5.7). На правой ветви в точке перегиба М 2(1/, е -1/2) графика функции имеет место смена выпуклости вверх слева на выпуклость вниз справа.
Пример 4. f (x) = ln (х 2 – 2 x + 2). РHешение. Вторая производная равна . Приравнивая ее к нулю, получаем критические точки x1 = 0, x2 = 2. Несложный анализ квадратного трехчлена х (2 — х), стоящего в числителе второй производной и определяющего ее знак, показывает, что точка перегиба M 1 (0, ln 2) графика функции меняет выпуклость вверх слева на выпуклость вниз справа; в другой точке перегиба М2 (2, ln2) выпуклость графика функции вниз слева меняется на выпуклость вверх справа.
Асимптоты графика функции
Часто оказывается, что график функции неограниченно приближается к некоторой прямой. Такого рода прямые называются асимптотами. Неограниченность приближения графика функции к асимптоте означает, что расстояние от графика до этой прямой (перпендикуляр, опущенный из произвольной точки графика на прямую) стремится к нулю.
Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные. Определение 4. Прямая х = а называется вертикальной асимптотой графика функции у = f (x), если хотя бы одно из предельных значений f(x) или f(x) равно +или -. Вертикальные асимптоты обычно сопутствуют точкам разрыва второго рода. Например, график функции у = е1/x имеет вертикальную асимптоту х = 0, так как f (x) при х 0+. Определение 5. Прямая у = kx + b называется наклонной асимптотой графика функции у = f (x) при х ±, если f(x) можно представить в виде
где α(х) 0 при х ±. Это определение относится как к наклонной, так и к горизонтальной асимптотам: в случае горизонтальной асимптоты угловой коэффициент k в (5.9) равен нулю. Укажем способ нахождения коэффициентов k и b в уравнении наклонной асимптоты. Разделив обе части равенства (5.9) на x и перейдя к пределу при х , получим
т.е. k = . Затемиз равенства (5.9) находим:
Рассмотрим примеры: найти асимптоты графиков функций.
Пример 5. f (x) = . Решение. Найдем вертикальную асимптоту. Точка x = -1 является точкой разрыва 2-го рода, причем
Затем находим наклонные асимптоты:
Таким образом, получаем уравнение наклонной асимптоты
Пример 6. f(x) = х + e-x. Решение. Вертикальных асимптот здесь нет, поскольку точки разрыва 2-го рода отсутствуют. Отыщем наклонную асимптоту:
Таким образом, уравнение наклонной асимптоты имеет вид
Схема исследования графика функции
Приведем схему исследования поведения функции и построения ее графика. 1. Найти область определения функции. 2. Определить возможный тип симметрии функции: четность или нечетность функции. Функция f (x) называется четной, если выполнено условие симметрии ее графика относительно оси Оу:
Функция f(x) называется нечетной, если выполнено условие симметрии ее графика относительно начала координат O (0, 0):
При наличии симметрии достаточно построить график функции на правой координатной полуплоскости и затем отобразить его на левую половину: зеркально относительно оси Оу в случае (5.10) (рис. 5.8,а) или с центральной симметрией в случае (5.11) (рис. 5.8,6).
3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат Ох и Оу, т.е. решить соответственно уравнения у = f (0) и f(x) = 0. 4. Найти асимптоты. 5. Найти точки возможного экстремума. 6. Найти критические точки. 7. Исследовать знаки первой и второй производных, определить участки монотонности функции, направление выпуклости графика, точки экстремума и перегиба. 8. Определить максимум и минимум функции на области ее определения. Если областью определения функции является отрезок [ а, b ], необходимо вычислить значения функции в его концах и сопоставить их с локальными экстремумами. 9. Построить график функции с учетом проведенного исследования. Пример 7. Исследовать и построить график функции
Решение. Действуем по приведенной выше схеме. 1. Область определения функции: х ≠ 0 или х (-, 0) (0, ). 2. Функция (5.12) является нечетной, так как f (- x) = - f (x). 3. Уравнение f(x) = 0 дает корни х = ±1 (точки пересечения с осью Ох). Пересечения с осью Оу нет в силу п.1. 4. Имеется вертикальная асимптота — ось Оу, так как предел f(x) при х 0 бесконечен: f (x) +при х 0-, f(x) -при х 0+. Определяем наклонную асимптоту:
Итак, уравнение наклонной асимптоты: у = х. 5. f'(x) = , т.е. производная нигде не равна нулю и точек возможного экстремума нет. В области определения везде f '(x) положительна. 6. f"(x) = — 2 /х 3 — критических точек нет. 7. Функция (5.12) монотонно возрастает на всей области своего определения, так как ее производная всюду положительна. В левой координатной полуплоскости выпуклость графика функции направлена вниз (f "(x) > 0), в правой полуплоскости выпуклость направлена вверх (f"(x) < 0). 8. Наибольшего и наименьшего значений функции не существует, поскольку область ее значений неограничена. 9. График функции (5.12) приведен на рис. 5.9.
Дата добавления: 2014-10-15; Просмотров: 849; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |