КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Уравнения, допускающие понижение порядка
Существуют три вида уравнения (10.2), которые при помощи замены переменной (искомой функции) сводятся к уравнениям первого порядка. 1. Уравнение вида
Введем новую функцию z(x) путем замены z(x) = у'. Тогда исходное уравнение второго порядка преобразуется в неполное уравнение первого порядка: z' = f (x), решением которого является функция z(х) = f(x) dx + С 1. Поскольку z(x) = у', то повторным интегрированием находим общее решение уравнения (10.4):
где С 1 и С 2 — произвольные постоянные. 2. Уравнение вида
т.е. уравнение не содержит в явном виде у. Как и в предыдущем случае, положим z(x) = у'. Тогда получаем уравнение первого порядка общего вида z' = f(x, z). Найдя общее решение этого уравнения z = φ(x, C 1 ), повторным интегрированием получим искомое общее решение уравнения (10.5):
где С 1 и С 2 — произвольные постоянные. 3. Уравнение вида
т.е. уравнение не содержит независимой переменной x. Здесь мы вводим новую функцию, зависящую от у, полагая z(y) = у'. Тогда, поскольку по правилу дифференцирования сложной функции
то уравнение (10.6) преобразуется в дифференциальное уравнение первого порядка относительно функции z(y):
Пусть общее решение этого уравнения z = φ(у, С 1 ). Тогда обратной заменой получаем неполное уравнение первого порядка относительно функции у(х)
из которого методом разделения переменных получаем функциональное соотношение для определения общего решения уравнения (10.6):
где С 1 и C 2 — произвольные постоянные. Рассмотрим два примера решения дифференциальных уравнений второго порядка.
Решение. Это уравнение вида (10.5), поскольку оно не содержит в явном виде у. Заменой z(x) = у' приведем его к уравнению первого порядка = -xz 2, откуда имеем z = , или у' = . Интегрируя это уравнение, получаем общее решение исходного уравнения:
где С 1 и С 2 — произвольные постоянные. В зависимости от выбора знака С 1 интеграл в правой части этого равенства (обозначим его через I) может иметь разные выражения:
Решение. Это уравнение вида (10.6), т.е. оно не содержит явно независимой переменной х. Заменой z(y) = у' сведем его к уравнению первого порядка
Первое решение этого уравнения z = 0, или у = С, где С — постоянная величина. Сокращая после этого обе части уравнения на z, получаем — z = 0. Решение этого уравнения методом разделения переменных у и z дает z = С 1 ey. Наконец, обратная замена приводит к уравнению первого порядка
Разделение переменных x и у приводит к общему решению исходного уравнения: e-ydy = C 1 dx, откуда e-y = С 1 х + С 2, или окончательно
где С 1 и С 2 — произвольные постоянные. Нетрудно видеть, что это решение включает в себя и решение у = С, указанное выше (при С 1 = 0, С 2 ≠ 0). Далее мы рассмотрим наиболее употребимый в математических приложениях вид дифференциальных уравнений второго порядка.
Дата добавления: 2014-10-15; Просмотров: 300; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |