Уравнения состояния САУ

Описание систем управления моделями пространства состояний

Пространство состояний САУ это бесконечная совокупность временных моментов состояния системы, описанная конечной совокупностью переменных состояния.

Число переменных состояния обычно принимается равным порядку общего дифференцированного уравнения системы, т.е. числу дифференцированных уравнений 1-го порядка.

Уравнения состояния записываются обычно в нормальной форме Коши и имеют вид:

= a_{i 1} x ₁ + a_{i 2} +… + a_inx_n + b_{i 1} u ₁ + b_{i 2} u ₂ + … + b_imu_m, i = 1, 2, …, n.

В левой части уравнения состояния всегда производная переменной состояния, а в правой части сумма всех переменных состояния и внешних воздействий со своими коэффициентами. Полное описание в пространстве состояния будет представлять систему из n дифференцированных уравнений 1-го порядка в форме Коши.

Существует три способа записи уравнений состояния подобной формы:

1) запись уравнения в форме Коши на этапе первичного поэлементного описания системы управления; например, уравнение напряжений цепи якоря двигателя постоянного тока

i _я r _яц + L _яц= u - e_g,

где r _яц и L ­_яц – сопротивление и индуктивность якорной цепи соответственно, u – изменение напряжения, приложенного к якорной цепи, e_g – изменения противоэдс двигателя, i _я- ток якорной цепи, может быть записано в нормализованной форме.

= – – +.

2) Запись уравнений состояний по передаточным функциям звеньев; например для передаточной функции W (s) = = можно записать уравнение TsY (s) + Y (s) = kU (s) и после перехода во временную область T + y (t) = ku (t), и уравнение состояния = .

В случае сложной передаточной функции порядка n > 1 прибегают к разложению ее на сумму слагаемых 1-го порядка, либо к представлению в виде произведения сомножителей 1-го порядка.

3) Универсальным способом записи уравнений состояния является их составление на основе детализированной структурной схемы системы. Процесс записи уравнений включает в себя 2 этапа:

- выбор переменных состояния; в качестве переменных состояния выбираются выходные переменные интегрирующих звеньев ДСС;

- запись уравнений для входных переменных интегрирующих звеньев.

Для иллюстрации процесса записи уравнений состояния по ДСС покажем систему нормальных уравнений для ДСС, представленной на рис. 3.16.

В кружках на схеме показаны переменные состояния.

= (-( x ₂ - x ₅) + g - x ₃ - k ₃(x ₃ - f)),

= (- x ₂ + k ₂(x ₁ + x ₄ - x ₆ - k ₆(x ₂ - f))), = (x ₂ - f),

= (g - x ₃ - k ₃(x ₂ - f) - (x ₅ + x ₂)), = (- x ₅ + x ₂),

= (k ₆(x ₂ - f) - x ₆ - k ₆(x ₂ - f)).

Дата добавления: 2014-10-31