Измеряемом векторе состояния объекта управления

Модальное управление при полностью

Модальным называется управление, имеющее целью придать корням характеристического уравнения замкнутой системы (собственным числам или “модам” матрицы системы) желаемые значения и их расположение на s -плоскости.

При наличии полной информации о векторе состояния объкта управления система модального управления содержит n обратных связей по каждому из n переменных состояния. Причем, каждая обратная связь является пропорциональной с некоторым значением k_i, i = 1, 2, …, n выбираются так, чтобы характеристический полином замкнутой системы соответствовал выбранной стандартной форме H (s), задающей желаемые значения корней характеристического уравнения и их расположение на s -плоскости. Структурная схема системы модального управления показана на рис. 4.46.

Пусть объект управления описывается уравнением

(4.16)

где x – n -мерный вектор состояния; U – управляющее воздействие объекта управления; A и B – матрицы объекта и входа соответственно.

Уравнение замкнутой системы получим, полагая

(4.17)

где k – вектор-строка коэффициентов обратных связей. Подставляя (4.26) в (4.25), получим

(4.18)

Преобразуем по Лапласу матричное уравнение (4.27):

откуда вектор состояния

Выходная величина системы x_n определяется из уравнения выхода Y (s)= Cx (s), где С – матрица строка выхода.

Передаточная функция замкнутой системы

Знаменатель передаточной функции является характеристическим полиномом. Приравнивая его стандартной форме, получаем уравнение

(4.19)

Если раскрыть обе части (4.19) по степеням s, затем приравнять коэффициенты при одинаковых степенях s, получится система уравнений, решая которую можно найти элементы матрицы k.

Пример. Пусть объект задан структурной схемой (рис. 4.47).

Уравнение состояния объекта управления:

откуда матрицы объекта и входа

Система уравнения объектом содержит обратные связи по всем трем переменным состояния: x ₁, x ₂, x ₃. Таким образом k = [ k ₁ k ₂ k ₃] должна быть найдена.

Вычисляем det(sI - A + Bk).

det(sI – A + Bk) = (s + 1 + k ₁)(s ² + 2) – k ₂ s – k ₃ =

= s ³ + (1+ k ₁) s ² + (2 – k ₂) s + 2(1 + k ₁) – k ₃. (4.20)

Примем в качестве стандартной формы биноминальную форму

H (s) = s ³ + 3w₀ s ² + 3w₀² s + w₀³. (4.21)

Применяем коэффициенты (4.20) и (4.21) при одинаковых степенях s:

1 + k ₁ = 3w₀, откуда k ₁ = 3w₀ – 1;

2 – k ₂ = 3w₀², откуда k ₂ = 2 - 3w₀²;

2 + 2 k ₁ – k ₃ = w₀³, откуда k ₃ = 2+ 2(3w₀ - 1) - w₀³ = 6w₀ - w₀³.

Пусть w₀ = 10 с^-1, тогда согласно рис.4.24 время регулирования не превысит 1 с. Коэффициенты матрицы k:

k ₁ = 3w₀ – 1 = 29; k ₂ = 2 - 3w₀² = -298; k ₃ = 6w₀ - w₀³ = -940

Дата добавления: 2014-10-31