Математическое представление дискретных функций

В рассматриваемых системах непрерывная часть имеет значительный вес в сравнении с дискретной и, кроме того, импульсные элементы преобразуют непрерывные сигналы в последовательность импульсов определенной формы. Появляется необходимость учитывать реальную форму импульсов и отразить зависимость того или иного параметра импульсов от мгновенных значений непрерывного сигнала. Использование аппарата решетчатых функций для таких систем оказалось недостаточным. Решетчатая функция дискретного аргумента не может быть непосредственно подвергнута преобразованию Лапласа. Значит, отсутствует возможность составить математические модели, например, в форме передаточных функций или частотных характеристик, широко используемых для моделирования непрерывных частей таких систем. Возникшее противоречие было преодолено за счет применения аппарата d-функций.

Для того, чтобы описать дискретные сигналы с помощью d-функций было предложено заменять реальные импульсные элементы (РИЭ) комбинациями из идеальных импульсных элементов (ИИЭ) и формирующих элементов (ФЭ) как показано на рис. 5.3.

Идеальным импульсным элементом называется абстрактный математический элемент, который под воздействием непрерывного сигнала на его входе генерирует мгновенные типа d-функций импульсы, следующие с интервалом, равным периоду дискретности РИЭ, и по площади равные значения непрерывного сигнала в моменты квантования.

Последовательность d-функций на выходе ИИЭ

Формирующим называется элемент, который под воздействием мгновенных модулированных по площади импульсов формирует на выходе импульсы, соответствующие выходному сигналу РИЭ.

Для описания ФЭ привлекается понятие импульсной переходной характеристики. Действительно, каждый импульс на выходе ФЭ есть реакция на входной мгновенный импульс типа d-функции, т. е. его импульсная переходная характеристика w (t). Подвергнув w (t) преобразованию Лапласа, получают передаточную функцию формирующего элемента

.

Так, например, для импульса прямоугольной формы, единичной амплитуды и длительностью t = g T

.

Передаточная функция ФЭ .

При g = 1 получаем передаточную функцию так называемого экстраполятора нулевого порядка. В технике такая передаточная функция соответствует преобразователю “код – напряжение”.

Подобным образом получены передаточные функции часто встречающихся на практике импульсных элементов.

Составив математическое описание формирующего элемента, его объединяют с непрерывной частью системы, благодаря чему получается приведенная непрерывная часть (ПНЧ) – рис. 5.5.

Преимуществом такого представления участка дискретно-непрерывной системы является то, что выходной сигнал ИИЭ U_f ^*(t) может быть преобразован по Лапласу, тогда как для сигнала f ^*(t) на выходе РИЭ преобразование Лапласа недопустимо.

К функции дискретного аргумента f (nT) или f [(n + s) T ] непрерывное преобразование Лапласа не может быть применено, так как функции f (nT) и f [(n + s) T ] не являются однозначными. Для того, чтобы выполнить преобразование Лапласа над функцией дискретного аргумента, последняя должна быть представлена как бесконечная сумма модулированных по площади d-функций

.

Преобразование Лапласа выполненное над суммой модулированных d-функций, называется дискретным преобразованием Лапласа

так как

Для символического обозначения дискретного преобразования Лапласа используется символ

.

Для записи преобразования над смещенной дискретной функцией
f [(n + s) T ] используется символ модифицированного преобразования

.

Результатом дискретного преобразования функции f (t) является функция трансцендентная, использование которой в преобразованиях затруднительно. Поэтому для описания дискретных систем получило распространение так называемое Z -преобразование, получающееся из дискретного преобразования Лапласа путем формальной замены

.

Таким образом, называется Z - преобразованием функции f (t). Если в рассмотрение вводится местный локальный сдвиг s, то вводится понятие модифицированного Z -преобразования.

.

Приведем в качестве примеров непрерывного – и Z -преобразований изображения единичной ступенчатой функции f (t) = 1(t).

.

(сумма бесконечной геометрической прогрессии , где a = 1, q = z ^-1).

Дата добавления: 2014-10-31