Простейшие типовые математические модели

Часть II МАТЕМАТИКА ДЛЯ МЕНЕДЖЕРА

Глава 7

Никакое человеческое исследование не может почитаться истинной наукой, если оно не изложено математическими способами выражения.

Леонардо да Винчи.

Книга о живописи, ч. 1

Экономист должен уметь настраивать механизм управления общественным производством и регулировать работу этого механизма.

В. С. Немчинов

Любому экономисту, пытающемуся построить теоретическую модель, обобщающую конкретные факты, рекомендуется сделать это в строго математической форме.

Р. Аллен

В настоящее время хорошо подготовленный экономистттеоретик должен знать существенно больше, чем избранные главы из современного учебника по анализу. Он должен свободно владеть многими методами современной математики.

К. Ланкастер

Математика подобна мясорубке, она может переработать любое мясо, но для того, чтобы получить хорошие котлеты, нужно и хорошее мясо.

Гексли

Математика имеет хороший инструмент. Экономика обладает хорошим материалом. Экономикооматематические методы – это совмещение хорошего инструмента с хорошим исходным материалом.

Уравнения умнее своих создателей.

Генрих Герц

7.1. Развитие экономико‑математических моделей

Математика (от греч. mathema – познание, наука) – наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.

Франсуа Кенэ (1694–1774) – известный французский экономист. Родился в крестьянской семье, где был восьмым из 13 детей. В детстве очень любил читать. В 17 лет поступил подручным к местному эскулапу и вскоре сумел стать признанным хирургом. При женитьбе получил значительное приданое. После длительной врачебной практики служил личным врачом маркизы Помпадур, фаворитки Людовика XV. До 60 лет Кенэ занимался только медициной, однако впоследствии увлекся экономикой.

Современники сравнивали Кенэ с Сократом, говоря о нем: мудрый, слегка лукавый человек, умен как дьявол, хитер как обезьяна. В его доме собирались такие великие современники, как Руссо, Дидро, Мирабо, д'Аламбер.

Доктор Кенэ ввел в экономику понятия «пропорции» и «воспроизводство». Ему принадлежит построение экономической таблицы, показывающей связь общественного продукта и денег между тремя классами – крестьян, дворянства и пр. Такое на первый взгляд элементарное открытие явилось основой для возникновения новой науки.

Формализованный язык – искусственный язык, характеризующийся точными правилами построения выражений и их понимания.

Формула – комбинация математических знаков, выражающая какое‑либо предложение, суждение.

Математическая модель – приближенное описание какого‑либо класса явлений, выраженное с помощью математической символики.

Модель – это условное представление действительности. Степень соответствия может быть различной, и проблема заключается в том, чтобы, выбирая уровень упрощения реальной ситуации, оставить основные влияющие факторы и соотношения между ними. Основные типы моделей: иллюстративные (чертежи, карты, натурные модели), аналоговые, символьные (математическое описание).

Хорошую модель составить непросто. По словам Р. Беллмана, «если мы попытаемся включить в нашу математическую модель слишком много черт действительности, то захлебнемся в сложных уравнениях, содержащих неизвестные параметры и неизвестные функции. Определение этих функций приведет к еще более сложным уравнениям с еще большим числом неизвестных параметров и функций и т. д.

Если же, наоборот, оробев от столь мрачных перспектив, построим слишком упрощенную модель, то обнаружим, что она не определяет последовательность действий так, чтобы удовлетворять нашим требованиям. Следовательно, ученый, подобно паломнику, должен идти прямой и узкой тропой между западнями переупрощения и болотом переусложнения».

Трюгве Хаавельмо – лауреат Нобелевской премии 1989 г. Родился в 1911 г. в Норвегии. Закончил Университет Осло. Работал в Институте экономики Рагнара Фриша, в Университете Осло.

Большая часть трудов Хаавельмо связана с эконометрикой. Своей работой, опубликованной в 1943 г., он положил начало новому направлению в экономике, получившему название анализа одновременных уравнений. Через год появилась следующая принципиально важная для развития науки статья, посвященная теории вероятностей как основе развития эконометрики.

Хаавельмо применил экономический анализ для изучения глобального экономического неравенства. В его знаменитой книге «Исследование теории экономической эволюции» (1954) построены новые модели и теоремы, учитывающие рост населения, уровень образования, миграцию, международную конкуренцию за перераспределение доходов.

Ученый систематизировал микроэкономические основы спроса на инвестиции, теорию оптимального использования капитала. Это оказало значительное влияние на последующие работы в данной области.

В качестве одного из важнейших результатов исследований Хаавельмо следует отметить анализ бюджетного мультипликатора. Он провел исследование эффекта, вызванного одновременным увеличением государственных расходов и ростом налогов при неполной занятости населения.

В 1989 г. Трюгве Хаавельмо получил Нобелевскую премию за прояснение вероятностных основ эконометрики и анализа одновременных экономических структур.

Для обеспечения успеха моделирования надо выполнить три правила, которые, по мнению древних, являются признаком мудрости:

1. Выделить главные свойства моделируемого объекта.

2. Отделить главные свойства от второстепенных.

3. Пренебречь второстепенными свойствами.

Поиск наилучшего решения занимал умы людей на протяжении многих веков. Еще Евклид описал способы построения наибольшего и наименьшего из отрезков, соединяющих данную точку с окружностью, и показал, как среди параллелограммов с заданным параметром найти параллелограмм максимальной площади.

В Древнем Вавилоне и Древнем Египте математика преподавалась как система практических навыков, крайне важных для работы государственных чиновников. В «Диалогах» Архимеда (III в. до н. э.) особое внимание акцентируется на необходимости нематематических следствий как «очередного шага» после математических выводов. Перефразируя одно из изречений Галилео Галилея, можно сказать, что сущность экономики излагается в большом количестве монографий, инструкций, положений, но понять ее может лишь тот, кто научился понимать ее язык и знаки, которыми она написана. Написана же она на математическом языке, а знаки ее – математические формулы. Становление математических методов анализа и выработки хозяйственных решений как самостоятельной области математики произошло в XVIII в. Одну из первых попыток экономико‑математического моделирования механизма движения финансов предпринял во Франции Франсуа Кенэ, врач и экономист. Он построил экономическую таблицу, рассматривающую экономику государства как единую систему. Кенэ соотнес биологический принцип кровообращения человека с кругооборотом экономических отношений. Карл Маркс, используя таблицы Кенэ, ввел алгебраические формулы. Он мечтал «вывести главные законы кризисов». В работах Маркса впервые сделано математическое формализованное описание процесса расширенного воспроизводства.

В 1838 г. французский математик Антуан Курно выпустил книгу «Исследование математических принципов теории богатства». В ней впервые было дано обоснование математической зависимости спроса на товар от его цены. Согласно теории Курно, эти величины связаны коэффициентом эластичности, который показывает, как изменяется спрос при росте или снижении цены на 1 %. Функция спроса позволила вскрыть ряд закономерностей: продавать дороже не всегда выгодно – все зависит от коэффициента эластичности. Спрос на товары, для которых он больше единицы, при снижении цены растет так быстро, что общая прибыль от продажи увеличивается.

В 1874 г. швейцарский экономист Л. Вальрас ввел статистическую модель системы экономического равновесия, затем итальянский экономист В. Парето предложил модель распределения доходов населения.

Конец XIX и начало ХХ в. ознаменовались появлением большого количества работ, развивающих математические методы решения экономических задач. Одна из первых задач, решенных на основе математического подхода, – «задача о землекопе» была сформулирована Ф. Тейлором в 1885 г. В ней требовалось определить оптимальную разовую массу забираемой земли, обеспечивающую максимум объема работ землекопа за день. Если землекоп за раз забирает большое количество земли, то быстро нарастает его усталость. Однако разовый забор малого количества земли ведет к уменьшению общего объема работ.

В России в 20‑е гг. XX в. С. Г. Струмилиным была сформулирована идея о составлении плана как результата решения оптимизационной задачи. Одновременно В. А. Базаров при разработке требований к плану отметил необходимость плавного изменения показателей, согласованности элементов системы, поиска кратчайшего пути к цели. На методических разработках В. А. Базарова и С. Г. Струмилина базировался первый годовой план страны (1925). В этот период В. Леонтьевым для изучения межотраслевых связей были введены основы экономико‑математических моделей «затраты‑выпуск». В 1925 г. увидела свет статья Н. Д. Кондратьева «Большие циклы конъюнктуры». Она сразу же была переведена на немецкий и английский языки и появилась в ведущих зарубежных экономических журналах. Этой работой Н. Д. Кондратьев заложил основы теории изучения экономических циклов на базе математического аппарата.

Становление современного математического аппарата оптимальных экономических решений началось в 40‑е гг. в результате появления первых работ Н. Винера, Р. Беллмана, С. Джонсона, Л. Канторовича. В 1939 г. Л. В. Канторовичем на примере задачи раскроя материалов для Ленинградского фанерного треста была впервые сформулирована математически задача линейного программирования. В 1947 г. Дж. Данциг предложил универсальный алгоритм решения задач линейного программирования, названный им симплекс‑методом. В 1941 г. Хичкок и независимо от него Купсман (1947) формулируют транспортную задачу, Стиглер – задачу о диете (1945). В 1952 г. было осуществлено первое успешное решение задачи линейного программирования на ЭВМ «Seac» в Национальном бюро стандартов США.

Начало разработок специфических экономико‑математических моделей финансовых фирм связывают с работой Френсиса Эджворта, опубликованной в 1988 г. Дальнейшее развитие названной работы реализуется по двум направлениям: разработка моделей на базе теории Марковица‑Томина (теория управления портфелем); разработка моделей на базе традиционной неоклассической теории фирмы (на основе первых работ Дж. Р. Хикса).

При постановке и решении оптимизационной задачи необходимо выполнить два условия.

1. Иметь варианты решения.

Если нет хотя бы двух возможных вариантов решения, то выбирать нечего и задача принятия решения отсутствует.

2. Определить принцип выбора лучшего варианта решения задачи.

Известны два принципа выбора: волевой и критериальный. Волевой выбор, наиболее часто используемый, применяют как единственно возможный при отсутствии формализованных моделей. Критериальный выбор заключается в принятии некоторого критерия сравнения возможных вариантов. Вариант, наиболее соответствующий принятому критерию, является наилучшим, или оптимальным (от лат. optimus – наилучший).

Решение не может быть оптимальным вообще, во всех смыслах, а только в одном, единственном смысле, определяемом выбранным критерием. Критерий оптимизации называют целевой функцией, функцией цели, функционалом.

Цель классификации задач оптимизации – показать, что эти задачи, различные по своему содержанию, можно решать на компьютере с помощью стандартных программных продуктов. Классификацию задач оптимизации, возникающих на производстве, можно выполнить по следующим признакам: область применения, содержание задачи, класс экономико‑математических моделей.

Для экономических оптимизационных задач необходимо сформулировать ряд обязательных требований:

1. Экономические задачи должны ставиться и решаться количественно, путем объективного расчета.

2. Экономические задачи выбора рассматриваются как экстремальные.

3. Функционирование экономики в целом, предприятия и его отдельного подразделения должно оцениваться по некому критерию.

4. Лучший вариант приходится выбирать в условиях ограниченности ресурсов.

Выделяют три типа математического описания задач управления: детерминированные, вероятностные и задачи в условиях неопределенности.

Детерминированные задачи формулируются в условиях полной определенности в значениях используемых параметров, составе и виде влияющих ограничивающих условий. Такое описание имеет однозначность при математическом представлении и позволяет получить однозначное решение.

В детерминированной задаче всегда известно, что стратегия действий А приведет к результату а, а стратегия действий В – к результату b. Остается только установить, какой результат имеет большую полезность, чтобы выбрать лучшую из двух стратегий.

Вероятностные задачи включают в своей постановке параметры, задаваемые в виде вероятностных величин, для которых известны вероятности достижения возможных значений. Такие задачи называют задачами с риском, и их решение формулируется как конкретные результаты с вероятностной оценкой каждого из них. Детерминированные задачи можно рассматривать как предельный вариант задач с риском, в которых вероятность появления значений используемых параметров равна единице.

Оценки вероятностей бывают двух типов: объективные и субъективные. Объективные оценки вероятностей получаются путем определения отношения числа интересующих нас событий к общему числу наблюдаемых событий.

Задачи в условиях неопределенности возникают в ситуациях, когда нет предварительной вероятностной оценки возможных будущих ситуаций или значений параметров, их характеризующих. В подобных задачах используют своеобразный подход для описания оценки предпочтительности управленческих стратегий. Оценка максимин предполагает предпочтительность стратегии действий, благодаря которой достигается максимально полезный результат при наиболее неблагоприятном развитии событий. Оценка минимакс ориентирует на выбор стратегии, минимизирующей потребные расходы при наиболее неблагоприятном развитии событий.

В общем виде математическая постановка экстремальной задачи состоит в определении наибольшего или наименьшего значения целевой функции f (x₁, x₂,…, x_j…, x_n) при условиях g_j (x₁, x₂…, x_j…, x_n) ≤ b (i = 1… m), где f, g i – заданные функции; x_j(j = 1… n) – искомь 2 е переменные; b_j (i = 1… m) – некоторые действительные числа.

В зависимости от свойств функций f и g_i экономико‑математические методы рассматривают как ряд самостоятельных разделов, изучающих методы решения определенных классов задач.

Прежде всего экономико‑математические методы подразделяют на методы решения задач линейного и нелинейного программирования. При этом если все функции f и g_i – линейные или не содержат произведения искомых переменных, то соответствующая задача – это задача линейного программирования.

Если хотя бы одна из этих функций – нелинейная или содержит произведения искомых переменных, то соответствующая задача – это задача нелинейного программирования. Среди них наиболее изучены задачи выпуклого программирования, в результате решения которых определяют минимум выпуклой (или максимум вогнутой) функции, заданной на выпуклом замкнутом множестве.

Из задач выпуклого программирования подробно разработаны задачи квадратичного программирования, в которых требуется найти максимум (или минимум) квадратичной функции при условии, что ее переменные удовлетворяют некоторой системе линейных уравнений.

Отдельные разделы экономико‑математических методов изучают методы решения задач целочисленного, параметрического, дробно‑линейного программирования.

В задачах целочисленного программирования неизвестные могут принимать только целочисленные значения.

В задачах параметрического программирования целевая функция и/или функции, определяющие область возможных изменений переменных, зависят от некоторых параметров.

В задачах дробно‑линейного программирования целевая функция – это отношение двух линейных функций, а функции, определяющие область возможных изменений переменных, линейны.

Дата добавления: 2014-11-20