Учебно-методическое обеспечение лекции

Введение

ПЛАН ЛЕКЦИИ

Элементы теории множеств. Функция одной переменной

ЛЕКЦИЯ № 5

Тема 2.1. Элементы теории множеств. Функция одной переменной.

Предел и непрерывность функции

Дисциплина: Математика

Автор: к.э.н., доцент Ширкунова Н.В.

Москва

Учебные вопросы:

1. Понятие множества. Операции над множествами.

2. Функция одной переменной.

3. Числовая последовательность и ее предел.. Понятие предела функции.

4. Основные теоремы о пределах функций.

Заключение

Основная литература

1. Общий курс высшей математики для экономистов. Под ред. В.И. Ермакова. – М., 2011.

2. Кремер Н.Ш. Математика для экономистов. М.:ЮНИТИ- ДАНА. 2009.

Перечень средств обучения

1. Презентации.

1. Понятие множества. Операции над множествами.

Определение. Множеством М называется совокупность объектов объединенных по определенному признаку.

Определение. О бъекты, составляющие множество, называются его элементами.

а Î М

Множество можно описать, указав какое – нибудь свойство, присущее всем элементам этого множества.

Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается Æ.

Определение. Если все элементы множества А являются также элементами множества В, то говорят, что множество А включается (содержится) в множестве В.

А

В

А Ì В

Определение. Если А Í В, то множество А называется подмножеством множества В, а если при этом А ¹ В, то множество А называется собственным подмножеством множества В и обозначается А Ì В.

Для трех множеств А, В, С справедливы следующие соотношения.

Связь между включением и равенством множеств устанавливается следующим соотношением:

Здесь знак Ù обозначает конъюнкцию (логическое “и”).

Операции над множествами.

Определение. Объединением множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат хотя бы одному из множеств А и В.

Обозначается С = А È В.

А

В

Геометрическое изображение множеств в виде области на плоскости называется диаграммой Эйлера – Венна.

Определение. Пересечением множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат каждому из множеств А и В.

Обозначение С = А Ç В.

А С В

Определение. Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из элементов множества А, не принадлежащих множеству В.

Обозначается С = А \ В.

А В

Определение. С_Е называется дополнением множества А относительно множества Е, если А Í Е и C_Е = Е \ A.

A E

2. Функция одной переменной.

Определение: Переменной у называется функцией от переменной х, если каждому значению х из некоторого промежутка Х по определенному закону или правилу ставится в соответствие одно или несколько значение у из промежутка У.

Функция может быть однозначно определенной.

Если каждому значению х из множества Х ставится несколько значений у из множества У, то функция называется многозначной.

При этом переменная х называется независимой переменной или аргументом, а переменная у – зависимой переменной или функцией.

Множество значений, принимаемых переменной х, называется областью определения функции, а множество значений принимаемых переменной у называется областью значения функции.

Для того, чтобы обозначить этот факт, что переменная у есть функция переменной х, пишут:

Буквы f, y, F – используются для обозначения закона соответствия между аргументом х и функцией у. Иногда закон соответствия и результат соответствия обозначают одной и той же буквой: у= у(х).

Запись обозначает, берется частное значение функции f(x) при

Если При х=2 мы имеем частное значение функции Для наглядного представления изменения функции в зависимости от изменения аргумента часто пользуются графическим изображением функции.

Рассмотрим на плоскости прямоугольную декартову систему координат ХОУ. Для каждой точки построим на плоскости точку с координатами Совокупность всех точек представляет собой график функции у=f(x) и служит для ее геометрической иллюстрации.

Определение: Графиком функции у=f(х) на плоскости ХОУ называется геометрическое место точек плоскости с координатами (х, f(x)), где переменная х принимает все значения из области определения функции.

Способы задания функций:

Согласно определению, функция считается заданной, если задано множество значений, принимаемых независимой переменной, и задано правило, устанавливающее соответствие между значениями независимой и зависимой переменной переменных. При этом никаких ограничений на характер этого соответствия не накладывается.

А) Аналетическийспособ

Функция преимущественно задается с помощью формулы, указывающей, какие действия надо провести над аргументом, чтобы получить соответствующее значение функции. Такая формула называется аналитическим выражением функции.

Поверхность шара S есть функция его радиуса R. Ее аналитическое выражение

В частности, функция может быть задана и с помощью нескольких формул (разные формулы на разных частях области определения).

Б) Табличный способ.

Иногда приходиться встречаться с переменными величинами, зависимость между которыми устанавливается опытным путем. На основании данных устанавливаются таблицы, в которых содержаться значения функций, соответствующие различным значениям значений аргумента. Примеры табличного задания функции можно найти в любом техническом справочнике.

В) Графический способ.

Функция называется заданной графически, если начерчен ее график.

Г) Словесный способ.

Функция описывается правилом ее составления. Функция Дирихле. F(x)=0 иррациональных значений х и равно F(x)=1 единице для всех рациональных значений х.

Рассмотрим основные свойства функции.

Ограниченность.

Определение. Функция у=f(x) называется ограниченной на множестве Х, принадлежащим области определения функции, если найдутся такие числа А и В, что

Функцию, ограниченную на всем множестве определения будем называть ограниченной функцией. Для того чтобы, функция y=f(x) была ограничена на множестве Х, необходимо и достаточно, чтобы существовало число М>0, для всех выполнялось условие .

1) y=sin x – ограниченная функция, т.к. на всем множестве ее определение

2) ограниченная на но эта функция не ограничена на всей области определения т.к. какое бы число мы не взяли, будет

Монотонные функции

Определение. Функция у=f(x) называется неубывающей на множестве Х, принадлежащей области определения функции, если для любых точек из этого множества, удовлетворяющих соотношению выполнено неравенство

Определение. Функция у=f(х) называется возрастающей на множестве Х, принадлежащем области определения функции, если для любых точек из этого множества, удовлетворяющих соотношению выполнено неравенство

Определение. Функция называется невозрастающей на множестве области определения функции, если для любых двух точек удовлетворяющих условию выполнено неравенство

Функции неубывающие или невозрастающие называются монотонными, а убывающие и возрастающие строго монотонные.

3. Периодичность.

Определение. Функция называется периодической с периодом Т, где Т не равен нулю, если для любых х из области определения выполнено следующее условие: , где х+Т также принадлежит области определения.

Вместе с Т периодом являются числа nТ Поэтому обычно за период принимают наименьшее положительное число Т.

Пример.

1)

2) - дробная часть числа. Т.е.

4. Четность и нечетность.

Определение. Функция называется четной, если для любых значений х из области определения выполняется условие

Определение. Функция у=f(x) называется нечетной если для значений х из области определения выполняется условие .

Любой многочлен, содержащий лишь четные степени аргумента х, есть четная функция.

Задание. Доказать, что четная функция.

Понятие обратной функции.

- монотонна на области определения. Пусть функция определена в некоторой области Х с областью значения У. Возьмем какое-нибудь значение В области определения найдется одно значение, для которых функция принимает значение аргумента , т.е.

Определение. Функция называется обратной для функции , если каждому значению переменной у области значения функции ставят в соответствие по определенному закону одно значение х. Область определения обратной функции является областью изменения данной функции.

Пример: 1) область определения Область значения

Ее область определения , а область значения .

2) , определена в промежутке Область значения Для того чтобы построить обратную функцию, необходимо область определения разбить на промежутки, где функция строго монотонна.

1)

2)

Используя понятие однозначной и многозначной функции необходимо отметить, что функция однозначная - - двузначная.

Функция, которая имеет обратную называется обратимой. Для любой строго монотонной функции у=f(x) существует обратная функция. Рассмотрим вопрос о графике обратной функции. Графики взаимно-обратных функций симметричны относительно прямой у=х.

Если у обратной функции, так же как и у данной, аргумент обозначить через х, а значение функции через у, то она запишется в виде

Функции различаются только обозначениями. Поэтому, чтобы из графика функции (или, что тоже самое получить график функции , достаточно поменять оси ОХ и ОУ, т.е. повернуть плоскость на 180⁰.

Таким образом, график обратной функции симметричен графику данной функции относительно биссектрисы у=х.

Сложная функция.

Определение. Если на некотором промежутке Х определена функция с множеством U на множестве U определена функция , то функция называется сложной функцией от х, а переменная и – промежуточная переменная сложной функции.

Пример: сложная

внутренняя: - внешняя.

Неявная функция.

Существует два способа задания функции: явный и неявный.

Определение. Функция называется явной, если она задана формулой, в которой правая часть не содержит зависимой переменной .

Определение. Функция называется неявно заданной, если она задана уравнением, не разрешенным относительно зависимой переменной у, т.е. имеет вид .

Функция задана посредством уравнения.

1)

2)

Дата добавления: 2014-11-08