Дисконтирование и его сущность

В финансовой практике часто сталкиваются с задачей, обратной наращению процентов: по заданной сумме S, которую следует уплатить через некоторое время n, необходимо определить сумму полученной ссуды P. Этот расчёт называют дисконтированием суммы S. Величину P, найденную дисконтированием наращенной суммы S, называют современной величиной (текущей стоимостью) суммы S. Разность S–P можно рассматривать не только как проценты, начисленные на P, но и как дисконт D с суммы S: D=S–P. Дисконт как скидка с конечной суммы долга может определяться через процентную ставку или в виде абсолютной величины.

В практике используются два принципа расчёта процентов: путём наращения суммы кредита (прямой) и установления скидки с конечной суммы долга (обратный).

С помощью дисконтирования в финансовых операциях учитывается фактор времени. Величина P эквивалентна сумме S в том смысле, что через определённый период времени и при заданной ставке процентов она в результате наращения станет равной S. Поэтому операцию дисконтирования называют также приведением. Однако понятие приведения несколько шире, чем дисконтирование. Приведение — это определение любой стоимостной величины на некоторый момент времени. Если некоторая сумма приводится к более ранней дате, чем текущая, то применяется дисконтирование, если же к более поздней дате, то — наращение.

Имеются два вида дисконтирования: математическое дисконтирование и банковский (коммерческий) учёт.

1.3.1 Дисконтирование по простым процентным и учётным ставкам

Математическое дисконтирование

Этот вид дисконтирования представляет собой решение задачи, обратной наращению первоначальной ссуды. Запишем формулу наращения по простой ставке процентов следующим образом

. (1.30)

Дробь называется коэффициентом дисконтирования. Он показывает, какую долю составляет первоначальная сумма ссуды в окончательной величине долга.

□ Пример 1.9. Владелец векселя[2] номинальной стоимости 400 ден. ед. и сроком обращения один год предъявил его банку-эмитенту для учёта за 90 дней до даты погашения. Банк учёл его по ставке 12% годовых (проценты простые). Определить дисконтированную величину и величину дисконта. Временную базу принять равной K =360 дней.

Решение. Сумма, полученная владельцем векселя в результате его учёта:

ден. ед.

Разность S–P =400–388,35=11,65 ден. ед. является дисконтом. ■

Банковское дисконтирование

Операция учёта, в том числе учёта векселей, заключается в том, что банк до наступления срока платежа по векселю или другому платёжному обязательству покупает его у владельца (являющегося кредитором) по цене ниже той суммы, которая должна быть выплачена по нему в конце срока, т. е. приобретает (учитывает) его с дисконтом.

Банковское дисконтирование основано на использовании учётной ставки d, то есть проценты за пользование ссудой начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока ссуды. При банковском дисконтировании по простым процентам современная стоимость P величины S определяется по формуле:

P=S (1– nd). (1.31)

Размер дисконта, удерживаемого банком,

D=S–P=Snd. (1.32)

Множитель (1– nd) в формуле (1.32) является коэффициентом дисконтирования. Срок n измеряет период времени от момента учёта векселя до даты его погашения в годах. Дисконтирование по учётной ставке производится, в основном, при временной базе K =360 дней.

□ Пример 1.10. Рассмотрим предыдущий пример. По условию S =400, t =90, K =360, возьмем учётную ставку d =12%. Тогда дисконтированная величина

ден. ед.

Величина дисконта

D=S–P =400–388=12 ден. ед. ■

Совмещение начисления процентов по ставке наращения и дисконтирования по учётной ставке

В том случае, когда учёту подлежит долговое обязательство, предусматривающее начисление простых процентов на первоначальную сумму долга, необходимо решить две задачи: а) определить конечную сумму долга на момент его погашения; б) рассчитать сумму, получаемую при учёте, путём дисконтирования конечной суммы долга с применением учётной ставки, действующей в момент учёта. В этом случае совмещают начисление процентов по ставке i и дисконтирование по ставке d, наращенная величина ссуды будет определяться по формуле

P ₂= P ₁(1+ n ₁ i)(1– n ₂ d), (1.33)

где P ₁ — первоначальная сумма ссуды; P ₂ — сумма, получаемая при учёте обязательства; n ₁ — общий срок платежного обязательства, в течение которого начисляются проценты; n ₂ — срок от момента учёта обязательства до даты погашения долга, то есть n ₂< n ₁.

□ Пример 1.11. Долговое обязательство в сумме 2 000 ден ед. должно быть погашено через 90 дней по ставке простых процентов 10% годовых. Владелец обязательства учёл его в банке за 30 дней до наступления срока по учётной ставке 12%. Найти полученную после учёта векселя сумму и величину дисконта.

Решение. Сумма, полученная после учёта векселя:

ден. ед.

Величина дисконта

D=P ₂ –P ₁=2029,5–2000=29,5 ден. ед. ■

1.3.2 Дисконтирование по сложным процентным и учётным ставкам

Математическое дисконтирование

Современная величина P суммы S находится в случае сложной процентной ставки по формуле

, (1.34)

где

PVIF_i,n =(1+ i)^{– n} (1.35)

— коэффициент дисконтирования. Значения этого коэффициента табулированы (см. Приложение 2). Величина дисконта

D=S–P=S (1–(1+ i)^{– n} ). (1.36)

При начислении процентов m раз в году используется номинальная ставка. Расчёт дисконтированной величины производится по формуле

, (1.37)

где

(1.38)

— коэффициент дисконтирования. Его значение можно найти, используя Приложение 2. Величинадисконта

. (1.39)

□ Пример 1.12. Определить современную стоимость 20 тыс. ден. ед., которые должны быть выплачены через 4 года. В течение этого периода на первоначальную сумму начислялись сложные проценты по 8% годовых: а) ежегодно; б) ежеквартально.

Решение. а) Если начисление процентов производилось 1 раз в конце года, то современная величина 20 тысяч составляет:

P =20×(1+0,08)^–4=20×0,7350=14,70 тыс. ден. ед.

б) Если же начисление процентов производилось ежеквартально, то

тыс. ден. ед. ■

Дисконтирование на основе непрерывных процентных ставок осуществляется по формуле

P=Se^–dn. (1.40)

Множитель e^–dn в формуле (1.46) является коэффициентом дисконтирования. Величинадисконта

D=S–P=S (1– e^–dn) (1.41)

Банковское дисконтирование

В учётных операциях широко применяется сложная учётная ставка. В этом случае дисконтирование осуществляется по формуле

P = S ×(1– d) ⁿ (1.42)

Множитель (1– d) ⁿ в формуле (1.48) является коэффициентом дисконтирования. Дисконтвычисляетсякакразность

D=S–P=S ×(1–(1– d) ⁿ). (1.43)

При дисконтировании m раз в году используется номинальная учётная ставка. Расчёт дисконтированной величины производится по формуле

. (1.44)

Множитель в формуле (1.48) является коэффициентом дисконтирования. Дисконтравен

. (1.45)

□ Пример 1.13. Долговое обязательство на сумму 6 тыс. ден. ед. со сроком погашения через 2 года было передано в банк для учёта. Дисконтирование производилось по ставке f =9% при m =4. Определить величину дисконта.

Решение. На руки владелец обязательства получит сумму

тыс. ден. ед.

Величинадисконта

D=S–P =0,9987 тыс. ден ед. ■

1.4 Расчёт срока ссуды и процентных ставок

Дата добавления: 2014-11-25