Начисление по сложным процентам

Начисление по простым процентам

Если наращенная за n лет сумма денег составляет S, а индекс цен равен I_p, то реально наращенная сумма денег с учётом их покупательной способности составляет

C=S/I_p. (1.88)

Если наращение производится по простой ставке в течение n лет, то реальное наращение при темпе инфляции a составит

C=P (1+ ni_a) /I_p, (1.89)

где индекс цен вычисляется по формуле (1.86) или (1.87). Процентная ставка, которая при начислении простых процентов компенсирует инфляцию, равна (при C=P)

i_a= (I_p –1) /n. (1.90)

Один из способов компенсации обесценения денег заключается в увеличении ставки процентов на величину так называемой инфляционной премии. Скорректированная таким образом ставка называется брутто-ставкой.

Пусть i — безинфляционная ставка, отражающая реальную доходность операции; i_a — брутто-ставка, которая учитывает инфляцию. Тогда наращенная сумма S на первоначальный капитал P за n летсоставит

S=P (1+ ni_a).

С другой стороны,

S=C × I_p=P ×(1+ ni)× I_p,

отсюда

1+ ni_a =(1+ ni)× I_p (1.91)

и

. (1.92)

Наращенная по сложным процентам сумма к концу срока ссуды с учётом падения покупательской способности денег составит

C=P (1+ i_a) ⁿ/I_p, (1.93)

где индекс цен определяется выражением (1.86) или (1.87) в зависимости от темпа инфляции. В этом случае падение покупательной способности денег компенсируется при ставке i_a=a, обеспечивающей равенство C=P.

Применяются два способа компенсации потерь от снижения покупательной способности при начислении сложных процентов.

1. Корректировка ставки процентов, по которой производится наращение, на величину инфляционной премии.

2. Индексация первоначальной суммы P.

Рассмотрим первый способ. Пусть i — безинфляционная ставка, отражающая реальную доходность операции; i_a — брутто-ставка. Тогда наращенная сумма S на первоначальный капитал P за год составит

S=P (1+ i_a).

С другой стороны

S=C × I_p=P ×(1+ i)×(1+ a),

отсюда

1+ i_a =(1+ i)(1+ a) (1.94)

и

i_a=i+a+ia. (1.95)

Формула (1.95) называется формулой Фишера.

Годовую ставку i, чтобы учесть инфляцию, нужно увеличить на величину a+ia. Эта величина называется инфляционной премией.

Выводы:

1) если ставка сложных процентов, в которую вложена инфляция, равна темпу инфляции i_a = a, то реальная доходность операции равна 0;

2) если i_a<a, то i <0, финансовая операция убыточна;

3) если i_a>a, то i >0, финансовая операция приносит реальный доход.

□ Пример 1.25. Кредит в 10 000 ден. ед. выдан на два года. Реальная доходность должна составлять 11% годовых (проценты сложные). Расчётный уровень инфляции 16% в год. Определить ставку процентов при выдаче кредита, а также наращенную сумму.

Решение. Найдем годовую ставку процентов, учитывающую инфляцию

i_a=i+a+ia =0,11+0,16+0,11×0,16=0,2876.

Наращенная сумма равна

S =10 000×(1+0,2876)²=16 579 (ден. ед.). ■

При втором способе компенсации потерь первоначальная сумма P корректируется согласно движению заранее оговорённого индекса. Тогда получаем:

S=P × I_p ×(1+ i) ⁿ, (1.96)

или

P ×(1+ i_a) ⁿ=P × I_p ×(1+ i) ⁿ.

Отсюда ставка сложных процентов, учитывающая инфляцию

. (1.97)

□ Пример 1.26. Кредит 12 000 ден. ед. выдан на 3 года. На этот период прогнозируется рост цен в 2,2 раза. Определить ставку процентов при выдаче кредита и наращенную сумму долга, если реальная доходность должна составлять 12% годовых по ставке сложных процентов.

Решение. Нам нужно найти ставку сложных процентов, учитывающую инфляцию

.

Наращенная сумма долга составит

S =12 000×(1+0,4567)³=37 093,0 ден.ед. ■

Найдём номинальную ставку сложных процентов, учитывающую инфляцию

, (1.98)

выполнив преобразования, получим

. (1.99)

Дата добавления: 2014-11-25