Сложные проценты

Простые проценты

Обозначим наращенную сумму до выплаты налогов через S, а с учётом выплаты как S ¢. Пусть ставка налога на проценты равна g. В случае простых процентов налог равен

Ig=Pnig.

Найдем наращенную сумму S ¢ после выплаты налогов

S ¢= S– (S–P) g = S (1– g)+ Pg = P (1+ ni)(1– g)+ Pg = P + Pni (1– g)= P (1+ ni (1– g)).

Итак, формула для нахождения наращенной суммы после выплаты налогов имеет вид

S ¢= P (1+ ni (1– g)). (1.81)

Таким образом, учёт налога сводится к сокращению процентной ставки: вместо ставки i фактически применяется ставка (1– g) i.

В долгосрочных операциях при начислении налога на сложные проценты возможны следующие варианты:

1) налог начисляется за весь срок сразу, то есть на всю сумму процентов;

2) сумма налога определяется за каждый истёкший год. Тогда ежегодная сумма налога будет величиной переменной, так как сумма процентов увеличивается во времени.

В первом случае сумма налога равна

Ig=P ((1+ i) ⁿ -1) g, (1.82)

а наращенная сумма после выплаты налога

S ¢= S– (S–P) g = S (1– g)+ Pg = P (1+ i) ⁿ (1– g)+ Pg = P ((1+ i) ⁿ (1– g)+ g).

Итак, формула для нахождения наращенной суммы после выплаты налогов имеет вид

S ¢= P ((1+ i) ⁿ (1– g)+ g). (1.83)

Рассмотрим второй случай. Обозначим налог за год t как G_t. Тогда

G_t= (S_t–S_{t– 1}) g= (P (1+ i) ^t–P (1+ i) ^{t– 1}) g=Pig (1+ i) ^{t– 1}.

За первый год налог составит G ₁= Pig; за второй год — G ₂= Pig (1+ i);...; за n -ый год — G_n=Pig (1+ i) ^{n– 1}. Мы имеем возрастающую геометрическую прогрессию. Первый член прогрессии равен Pig, знаменатель равен 1+ i. Сумма членов этой прогрессии равна налогу, выплаченному за n лет:

. (1.84)

Сравнивая формулы (1.82) и (1.84) приходим к выводу, что сумма налогов за весь срок не зависит от метода начисления.

□ Пример 1.22. Пусть ставка налога на проценты равна 2%. Процентная ставка — 8% годовых, срок начисления — три года. Первоначальная сумма ссуды 1 000 ден. ед. Определить наращенную сумму с учётом выплаты налога на проценты.

Решение. При начислении простых процентов за весь срок получим:

наращенная сумма без уплаты налогов равна

S = P (1+ ni)=1 000×(1+3×0,08)=1 240 ден. ед.,

с учётом его выплаты в конце срока:

S ¢= P (1+ ni (1– g))=1 000×(1+3×0,08×0,98)=1 235,2 ден. ед.,

сумма налога:

G=S–S ¢=1 240–1 235,2=4,8 ден. ед.

Начислим теперь сложные проценты. Рассмотрим случай, когда сумма налога определяется за каждый истекший год.

Наращенная сумма без уплаты налогов:

S=P (1+ i) ⁿ =1 000×1,08³=1 259,71 ден. ед.

Налог за t -ый год равен G_t=Pig (1+ i) ^{t– 1}, тогда

за первый год — G ₁=1 000×0,08×0,02×1,08⁰=1,6 ден. ед.,

за второй год — G ₂=1 000×0,08×0,02×1,08=1,728 ден. ед.,

за третий год — G ₃=1 000×0,08×0,02×1,08²=1,86624 ден. ед.

Сумма налога G за три года равна 5,19 ден. ед. Наращенная сумма после выплаты налога составляет

S ¢ =S–G= 1 259,71–5,19=1 254,52 ден. ед. ■

1.9 Расчёт наращенных сумм в условиях инфляции

В экономической теории инфляция определяется как повышение общего уровня цен (Макконнелл К. Р., Брю С. П. Экономикс. — М., 1999. — С. 11). Следствием инфляции является падение покупательской способности денег. Инфляционные процессы, характерные для экономики многих стран, требуют того, чтобы они учитывались в финансовых расчётах.

Пусть за рассматриваемый промежуток времени стоимость потребительской корзины возросла с величины S до S ₁ ден. ед., тогда стоимость потребительской корзины изменилась на величину

D S=S ₁– S.

Величина называется уровнем инфляции. Он показывает, на сколько процентов выросли цены за рассматриваемый промежуток времени. Величина , характеризующая прирост цен за рассматриваемый период времени, называется темпом инфляции. Тогда

.

Величина называется индексом цен. Индекс цен показывает, во сколько раз выросли цены за указанный промежуток времени.

Пусть a_t (t= 1, 2, …, n) — годовой темп инфляции и пусть имеется некоторая сумма S. Для того чтобы сохранилась покупательская способность, сумма S должна через один год составлять

S ₁= S (1+ a ₁),

через два года

S ₂= S ₁(1+ a ₂)= S (1+ a ₁)(1+ a ₂),

и так далее. Через n лет сумма S возрастёт до величины

. (1.85)

За рассматриваемый период (n лет) индекс цен составил

, (1.86)

а при неизменном темпе инфляции a

I_p =(1+ a) ⁿ. (1.87)

Таким образом, инфляционный рост цен подчиняется закону сложного процента.

□ Пример 1.23. Цены за каждый месяц растут на 8%. Найдите годовой уровень инфляции.

Решение. По условию месячный темп инфляции a =0,08, тогда индекс цен за год

I_p =(1+ a) ⁿ =1,08¹²»2,5182,

но

I_p =1+ a ₁,

где a ₁ — темп инфляции за год. Следовательно, a ₁=1,5182 и годовой уровень инфляции составляет 151,82%. ■

□ Пример 1.24. Цены за январь выросли на 8%, за февраль — на 6% и за март — на 5%. Найдите уровень и темп инфляции за первый квартал.

Решение. Индекс цен за три месяца равен

I_p =1,08×1,06×1,05=1,20204,

темп инфляции за три месяца равен a=0,20204, а уровень инфляции составит 20,204%. ■

Дата добавления: 2014-11-25