Общие сведения. Собственные изгибные колебания струн

Собственные изгибные колебания струн

Лабораторная работа 5

Цель работы – экспериментальное определение зависимости собственных частот струны от силы ее натяжения и от номера гармоники и сравнение с зависимостями, рассчитанными теоретически.

Согласованное протекание во времени и пространстве нескольких колебательных процессов или волновых процессов связывают с понятием когерентности. Волны называются когерентными, если разность их фаз остается постоянной во времени. При наложении в пространстве двух (или нескольких) когерентных волн в разных точках получается усиление или ослабление результирующей волны в зависимости от соотношения между фазами этих волн. Это явление называется интерференцией волн.

Особым случаем интерференции являются стоячие волны – это волны, образующиеся при наложении двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу с одинаковыми частотами и амплитудами, а в случае поперечных волн и одинаковой поляризацией.

Уравнение любой волны является решением дифференциального уравнения, называемого волновым уравнением. Для струны, вытянутой вдоль оси x, отдельные точки которой совершают колебания вдоль оси y, это уравнение имеет вид:

, (5.1)

где u - скорость распространения волны (фазовая скорость).

.

где - сила натяжения струны; - линейная плотность струны (масса единицы длины).

Решением уравнения (5.1) является уравнение, описывающее распространение гармонической волны вдоль бесконечной струны:

, (5.2)

где знак «минус» при распространении волны в положительном направлении, а знак «плюс» - в отрицательном; - волновое число.

Для вывода уравнения стоячей волны предположим, что две плоские волны распространяются навстречу друг другу вдоль оси х в среде без затухания, причем обе волны характеризуются одинаковыми амплитудами и частотами. Кроме того, начало координат выберем в точке, в которой обе волны имеют одинаковую начальную фазу. Тогда соответственно уравнение волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х, и волны, распространяющейся ей навстречу, будут иметь вид

Сложив эти уравнения, получим уравнение стоячей волны:

(5.4)

В каждой точке стоячей волны колебания происходят с той же частотой, что и у встречных волн. Амплитуда колебаний зависит от координаты x:

(5.5)

Для струны конечной длины с закрепленными концами амплитуда результирующего колебания на концах струны должна равняться нулю. Если начало струны находится в точке с координатой , то амплитуда в этой точке будет равна нулю в том случае, когда . Выражение (5.5) в том при этом будет иметь вид:

На конце струны, в точке с координатой , где - длина струны, амплитуда также должна ровняться нулю. Для этого должно выполняться условие:

Из последнего выражения следует, что стоячие волны на струне могут существовать только на таких частотах , для которых длина волны

Частота колебаний связана с длиной волны соотношением , где u - фазовая скорость волны. Тогда частоты могут быть определены по формуле:

В теории колебаний эти частоты называют гармониками (первая гармоника, вторая и т.д.) или собственными частотами колебания струны.

Зависимость амплитуды колебаний а от координаты x для различных номеров гармоник n может быть представлена выражением

Или с учетом выражения (5.7)

Из выражения (5.10) следует, что амплитуда равна нулю в тех точках струны, для которых принимает целочисленное или нулевое значение. Так для первой гармоники таких точек две, с координатами и , т.е. на концах струны. Для второй гармоники таких точек три: на концах струны и в точке , т.е. в средине струны. Для третьей гармоники – четыре точки: на концах струны и в точках с координатами и .

Точки, амплитуды колебаний в которых равны нулю, называют узлами стоячей волны. Расстояние между соседними узлами называют длиной стоячей волны. Из выражения (5.9) следует, что минимальное расстояние между узлами равно половине длины бегущей волны. Следовательно, . На длине струны укладывается целое число полуволн бегущей волны, и соответственно целое число длин волн стоячей волны, численно равное номеру гармоники n. Точки, в которых амплитуда достигает максимального значения, называются пучностями стоячей волны. Число пучностей, укладывающихся на длине струны также равно n.

На рис. 5.1 показана зависимость смещения точек струны y от координаты x на частоте второй гармоники для трех моментов времени: (кривая 1); , где T - период колебаний (кривая 2); (кривая 3).

Рис. 5.1

Видно, что точки струны между соседними узлами движутся в одинаковой фазе. Однако точки струны, расположенные по разные стороны узла на расстоянии, меньшем движутся в противофазе.

В настоящей работе струна возбуждается силой, изменяющейся по гармоническому закону. Для этого используется металлическая струна, к концам которой подводится переменное электрическое напряжение от генератора звуковой частоты. Часть струны проходит через зазор между полюсами электромагнита, питаемого от источника постоянного тока. На эту часть струны действует сила Ампера в направлении, перпендикулярном длине струны и силовым линиям магнитного поля. Эта сила изменяется по гармоническому закону с частотой, задаваемой на генераторе. Колебания струны могут возбуждаться только в том случае, если частота электрических колебаний генератора совпадает с частотой какой либо одной из гармоник. Следовательно, рассмотренным способом можно возбудить любые гармоники, но только по отдельности. Для эффективного возбуждения колебаний струны магнит должен быть расположен так, чтобы между полюсами магнита находилась пучность стоячей волны.

В отличие от бегущей волны, в стоячей волне не происходит переноса энергии вдоль струны. Поэтому, в случае отсутствия потерь энергии, даже при кратковременном, импульсном возбуждении струна должна колебаться бесконечно долго. Однако реально всегда существуют потери энергии (например, на излучение звука) и колебания являются затухающими. При возбуждении струны силой, изменяющейся по гармоническому закону (от генератора электрических колебаний), колебания являются вынужденными. В установившемся режиме они происходят с частотой вынуждающей силы, и амплитуда колебаний со временем не меняется. Потери энергии компенсируются энергией, поступающей от генератора.

Дата добавления: 2014-11-25