Уравнение , где и – действительные числа, называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.
Будем искать его частное решение в виде . Подставляя в уравнение значение , получаем: , , . Отсюда получаем , так как . Итак, решение уравнения , если .
Уравнение называется характеристическим уравнением для дифференциального уравнения . Корни характеристического уравнения ищутся в виде:
.
При его решении возможны три случая:
1. Корни и действительны и различны. Общее решение при этом имеет вид .
2. Корни и действительны и равны . Общее решение имеет вид .
3. Корни комплексные , . В этом случае общее решение имеет вид .
Для доказательства достаточно показать, что данные комбинации линейно независимы и при подстановке в уравнение дают верное равенство.
Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав!Последнее добавление