С постоянными коэффициентами

Структура решения неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка

С постоянными коэффициентами

Дифференциальные уравнения второго порядка

Лекция 13. Неоднородные линейные

Уравнение вида

,

где p и q – вещественные числа, называется линейным неоднородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Общее решение этого уравнения представляет собой сумму частного решения неоднородного уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения , то есть . Это утверждение составляет содержание теоремы о структуре общего решения неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Напомним, уравнение является однородным, если f (x) равно нулю. Для того чтобы решить однородное дифференциальное уравнение, необходимо составить характеристическое уравнение . При его решении возможны следующие три случая.

Случай 1. Если корни k ₁, k ₂ различны, то общее решение однородного уравнения имеет вид:

.

Случай 2. Если k ₁= k ₂= k, то общее решение однородного уравнения имеет вид:

.

Случай 3. Если , то общее решение однородного уравнения имеет вид:

,

где , .

Дата добавления: 2014-11-26