Общее уравнение прямой

Пусть в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости задана точка и вектор . Требуется составить уравнение прямой , проходящей через точку и перпендикулярной вектору . (см. рис. 13)

Выберем произвольную точку на прямой . Тогда вектор лежит на прямой . Так как прямая перпендикулярна вектору по условию, то и вектор перпендикулярен вектору , а значит , откуда

. (3.1)

Уравнение (3.1) является уравнением прямой на плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору .

Всякий вектор, перпендикулярный прямой называется вектором нормали прямой. Вектор является вектором нормали прямой .

Пример. Составить уравнение прямой , проходящей через точку и перпендикулярной вектору , если и .

Решение. Находим координаты вектора , являющимся вектором нормали прямой :

.

Подставляя в уравнение (3.1) координаты точки , то есть , и координаты вектора , то есть , , находим искомое уравнение прямой :

: или

: или

:

Ответ: .

Преобразуем уравнение (3.1) следующим образом:

или .

Обозначив , получаем общее уравнение прямой на плоскости вида:

. (3.2)

Исследуем уравнение (3.2):

1. При , , уравнение (3.2) примет вид:

.

Разделив обе части последнего уравнения на

или ,

обозначив , получаем уравнение прямой на плоскости в «отрезках» вида:

, (3.3)

где и величины отрезков, которые прямая отсекает от осей координат (см. рис. 14).

Пример. Составить уравнение прямой , проходящей через точку и отсекающей от осей координат равные отрезки (см. рис. 15).

Решение. Пусть уравнение искомой прямой имеет вид (3.3), то есть . Так как по условию, то уравнение (3.3) можно переписать в виде: или .

Поскольку точка лежит на прямой , то подставляя ее координаты , в последнее уравнение, находим: , откуда . Следовательно, – уравнение искомой прямой.

Дата добавления: 2014-11-09