Исследование функций и построение их графиков

Решение.

Правило Лопиталя

Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей вида и при вычислении пределов от функции одного переменного, который основан на применении производных.

Пусть функции и непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки и обращаются в нуль в этой точке: . Пусть в окрестности точки . Тогда, если существует предел , то .

Пример. Вычислить предел .

.

Пусть функции и непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки (кроме, быть может, самой точки ), в этой окрестности , . Тогда, если существует предел , то .

Пример. Вычислить предел .

Решение.

.

Одним из приложений производной является ее применение к исследованию функций и построение их графиков.

Рекомендуемая схема исследования функции:

1. Найти область определения функции. Часто полезно учесть множество значений функции.

2. Исследовать специальные свойства функции: четность, нечетность, периодичность, свойства симметрии.

3. Исследовать поведение функции при стремлении аргумента к граничным точкам области определения и к бесконечности, то есть найти асимптоты графика функции: вертикальные и наклонные. Проанализировать расположение графика функции и его асимптот.

4. Найти интервалы монотонности функции: возрастание и убывание. Найти экстремумы функции: минимумы и максимумы.

5. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.

6. Найти точки пересечения графика с осями координат.

7. На основании результатов исследования построить эскиз графика.

Дата добавления: 2014-11-09