КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Примеры распределений непрерывной случайной величины
Лекция 9. 1. Равномерное распределение. Случайная величина x непрерывного типа называется распределенной равномерно на отрезке [a,b], если ее плотность распределения постоянна на этом отрезке: f(x) = (9) Вычислим математическое ожидание и дисперсию: ,
= Рассмотренное в Примере 13 распределение является равномерным при a = 0 и b = 1. 2. Показательное (экспоненциальное) распределение: Случайная величина x называется распределенной по показательному (экспоненциальному) закону с параметром >0, если она непрерывного типа и ее плотность распределения задается формулой
f(x) = (10) График функции приведен на Рис.11. Рис. 11. Математическое ожидание и дисперсия соответственно равны: M (x) = , D (x)= 3. Закон нормального распределения. Случайная величина называется распределенной по нормальному закону с параметрами а и >0, если плотность распределения вероятностей имеет вид f(x) = , (11) Для того, чтобы построить график этой функции, проведем ее исследование. Вычислим производную . При x < a > 0, следовательно на интервале функция возрастает, а при x > a < 0, - функция убывает. В точке x = a – функция имеет максимум. График функции приведен на Рис.12. Важное значение в прикладных задачах имеет частный случай плотности нормального распределения при a = 0 и =1 . (12) Функция (12) - четная, т.е. (-x) = (x). Для значений этой функции имеются таблицы (Приложение 1).
Рис. 12 Вычислим математическое ожидание и дисперсию: ; ; . При вычислении интегралов использованы свойства: 1) = 0, как интеграл от нечетной функции в симметричных пределах; 2) =1, как интеграл от плотности нормального распределения с параметрами a = 0 и = 1 (свойство 2 функции плотности распределения).
Аналогично можно показать, что D (x) = 2. Параметры a и совпадают с основными характеристиками распределения. В дальнейшем, если плотность распределения случайной величины имеет вид (11),то для краткости будем записывать x ~ N (). Вероятность попадания случайной величины x в интервал вычисляется по формуле (13) , (13) где - функция Лапласа , ( 14) функция нормального распределения N(0,1), д ля этой функции имеются таблицы (Приложение 2). Отметим, что Ф(-x) = 1 - Ф(x) (15) Пример 14. Коробки с шоколадом упаковывают автоматически.Их средняя масса равна 1,06 кг. Известно, что 5 % коробок имеют массу меньше 1 кг. Какой процент коробок, масса которых превышает 940 г. (вес коробок распределен нормально)? Из условия задачи параметр а= 1,06, параметр -неизвестен. Рассмотрим случайную величину x - масса коробок. Требуется определить p (x > 0,94), т.е. p (x > 0,94) = p (0,94 < x < + ∞)
Из таблицы Приложения 2 определим , по формуле (14) имеем = 1- , тогда p (0,94 < x < + ∞) 1-1+ = . Параметр σ найдем из условия р (x < 1) = 0,5 т.е. 1- откуда получим ) = 0,95. По таблице Приложения 3 определим = 1,645, тогда из равенства найдем значение . Окончательно получим . 4. Распределение Парето Распределение Парето используется при изучении распределения доходов, превышающих некоторый пороговый уровень x0. f(x) = x0 < x < ∞, α > 0, х0 > 0 – параметры распределения., M(ξ)= , D(ξ)= .
Дата добавления: 2014-11-16; Просмотров: 572; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |