Краткие теоретические сведения. 1. Определения ограниченных множеств:

1. Определения ограниченных множеств:

ограниченного сверху множества; ограниченного снизу множества; ограниченного множества:

1)множество называют ограниченным сверху, если $ число , такое что для выполняется неравенство ; число b называется в этом случае числом, ограничивающим сверху множество X;

2)множество называют ограниченным снизу, если $ число , такое что для выполняется неравенство ; число a называется в этом случае числом, ограничивающим снизу множество X;

3)множество, ограниченное сверху и снизу, называется
ограниченным.

2. Определение неограниченных множеств:

1) неограниченное сверху множество – это множество X, не являющееся ограниченным сверху, то есть ;

2) неограниченное снизу множество – это множество X, не являющееся ограниченным снизу, то есть .

3) неограниченное множество - это множество, не являющееся ограниченным, т. е. неограниченное множество является неограниченным сверху или неограниченным снизу, или неограниченным и сверху и снизу.

3. Определения точной верхней грани и точной нижней грани множества: точной верхней грани множества; точной нижней грани множества

1) если множество ограничено сверху, то наименьшее среди всех чисел, ограничивающих сверху это множество, называют точной верхней гранью множества (или просто верхней гранью) и обозначают: sup X;

2) если множество ограничено снизу, то наибольшее среди всех чисел, ограничивающих снизу это множество, называют точной нижней гранью множества (или просто нижней гранью) и обозначают: inf X.

4. Определения экстремумов множества:

1) если точная верхняя грань множества X принадлежит этому множеству, то она называется максимумом множества и обозначается maxX;

2) если точная нижняя грань множества X принадлежит этому множеству, то она называется минимумом множества и обозначается minX;

3) максимум и минимум некоторого множества называются экстремумами этого множества.

Задача 1

Охарактеризуйте ограниченность следующих множеств, укажите их точные грани и экстремумы:

1) ; ;

; ;

; ;

2) ; ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) .

Ответы:

1) A ₁- ограниченое, ;

A ₂- ограниченое, , max A ₂ и min A ₂ не существуют;

A ₃ - ограниченое, , , ;

A ₄ - ограниченое, , , ;

A ₅-ограниченое, , , ;

A ₆-ограниченое, , , ;

2) B ₁ - неогр., но огр. снизу, , , , ;

B ₂-неогр., но ограничено снизу , , ;

3) C - ограниченное, , , ;

4) D -неогр., т.к. не явл.огр. ни сверху ни снизу, , ; и min D не сущ.;

5) X -неогр., но огр. сверху, , inf X =-¥, , min X не сущ.;

6) Y -неогр., но огр. сверху, , , max Y =8, ;

7) T -огр., , , , ;

8) M -огр., , , min M не существует;

9) S - ограниченное, , , max S и min S не существуют;

10) L - ограниченное, , , , .

Задания для домашнего выполнения

Задача 1

1) ; ;

; ; ; ;

2) ; ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) .

Ответы к задачам для домашнего выполнения

Задача 1

1) A ₁- ограниченное, , , , ;

A ₂- ограниченное, , , min A ₂=-10, max A ₂ не сущ.;

A ₃-ограниченое, , , , ;

A ₄-ограниченое, , , , ;

A ₅ - неогр., т.к. не огр. ни сверху, ни снизу, , max A ₅ и min A ₅ не сущ.;

A ₆-ограниченое, , , max A ₆ и min A ₆ не существуют;

2) B ₁-ограниченное, , , , min B ₁ не существует.

B ₂-неограниченное, но ограничено снизу, , max B ₂ и min B ₂ не сущ.;

3) C - ограниченное, , , , ;

4) D -неогр., но ограничено сверху, , , max D =-1, min D не сущ.;

5) X -неогр., но огр. снизу, , , max X не сущ., ;

6) Y -неограниченное, но ограничено сверху, , , max Y =2, min Y не сущ.;

7) P –огр., , , , ;

8) T- ограниченное, , , , min T не существует;

9) M -неогр., но ограничено снизу, , , max M и min M не сущ.;

10) F -ограниченное, , , , min F не сущ.

Занятие 5. Множества точек на координатной плоскости в полярной системе координат

Цель занятия:

1) познакомиться с полярной системой координат и построением линий в ней;

2) повторить тригонометрические вычисления, решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств.

Дата добавления: 2014-11-16