Решаем четыре системы сравнений 8 страница

Пример 7. – простое алгебраическое расширение поля .

Пример 8. – поле гауссовых чисел – простое алгебраическое расширение поля .

Пример 9. – простое трансцендентное расширение поля . Это поле рациональных функций над полем .

Определение 23. Пусть – башня полей. Расширение поля называется конечным расширением, если существует система элементов в такая, что любой элемент представляется однозначно в виде , где .

Легко видеть, что в этом случае поле есть конечномерное линейное пространство над полем . Система элементов есть базис этого пространства.

Определение 24. Размерность конечного расширения поля как линейного пространства над называется степенью поля над полем и обозначается , а его базис называется базисом поля над полем .

Теорема 1. Конечное расширение поля является алгебраическим расширением.

Пример 10. – конечное расширение поля . Действительно, легко видеть, что система в данном случае является базисной. Отсюда .

Теорема 2. Каждый элемент простого алгебраического расширения можно представить в виде многочлена от над полем .

Следствие 1. Если есть степень элемента над полем , то каждый элемент

представляется многочленом над полем , степень которого не превосходит -1.

Следствие 2. Если есть степень элемента над полем , то система элементов образует базис поля над полем (т.н. степенной базис). Таким образом, поле является конечным расширением поля и , т.е. степени присоединяемого элемента .

Пример 11. – поле гауссовых чисел является простым алгебраическим расширением поля с базисом . Минимальный многочлен элемента i есть , .

Теорема 3 (о степенях конечных расширений). Если в башне полей какие-либо две пары образуют конечные расширения, то и третья пара образует конечное расширение. При этом имеет место равенство .

Пример 12. Пусть задана башня полей . В соответствии с теоремой, так как и , получаем, что .

Пример 13. Пусть – корень многочлена из примера 6. Его степень над полем равна 100. Поэтому . Что можно сказать о степени ?

Аналогом «Основной теоремы алгебры» служит следующая

Теорема 4 (Кронекера). Пусть – поле и , . Тогда существует конечное расширение поля , в котором многочлен имеет корень.

Следствие. В условиях теоремы существует конечное расширение поля , над которым многочлен разлагается на линейные множители.

Это следствие вытекает легко из теоремы 3. Наконец, можно доказать и такой результат.

Теорема 5 (о примитивном элементе). Каждое конечное расширение является простым

алгебраическим.

Это, в частности, означает, что , для некоторого алгебраического элемента над . Этот элемент и называют примитивным. Дадим еще

Определение 25. Пусть и – поля. Если существует биективное отображение такое, что выполнены условия:

1)

2)

то говорят, поле изоморфно полю и пишут . Если при этом выполнено

3)

то изоморфизм называют относительным (относительно ), а сами поля и –

-изоморфными.

Лемма 3. Бинарное отношение изоморфизма полей является отношением эквивалентности.

Свойства изоморфизма полей.

1)

2)

3)

4)

Пример 14. Можно показать, что , где и есть корни многочлена из примера 6.

Определение 26. Пусть – поле и , . Если – все корни , то расширение называется полем разложения многочлена над полем .

Пример 15. Полем разложения многочлена над полем , очевидно, является поле .

Пример 16. Полем разложения многочлена над полем , очевидно, является поле гауссовых чисел.

Теорема 6. Пусть – поле, , , тогда существует поле разложения многочлена над полем . Два любых поля разложения многочлена над являются -изоморфными, а изоморфизм осуществляет некоторую перестановку корней этого многочлена.

Определение 27. Пусть задано множество чисел , где – простое число. Биекция индуцирует на указанном множестве структуру конечного

поля классов вычетов по простому модулю . И, таким образом, .Это поле

назовем полем Галуа порядка .

Как уже говорилось, каждое поле содержит простое подполе. Для таких подполей справедлива следующая

Теорема 7. Пусть – поле и , тогда его простое подполе изоморфно полю , а если , – некоторое простое число, то его простое подполе изоморфно полю .

Задача 1. Доказать, что факторкольцо не может быть полем, каким бы ни было коммутативное кольцо с единицей.

Задача 2. Показать, что для простого числа существует ровно два элемента таких, что .

Задача 3. Доказать, что если – алгебраический над полем элемент, где – алгебраическое расширение поля , то элемент является алгебраическим и над полем . Это значит, что если – алгебраическое расширение поля , то в то же время и алгебраическое расширение поля .

Задача 4. Доказать, что если – расширение поля и степень – простое число, то единственными полями , удовлетворяющими условию , являются и .

Задача 5. Расширения каких степеней над полем можно получить, присоединяя к полю корни многочлена ? Описать получаемые расширения.

Задача 6. Совпадают ли расширения и ?

Задача 7. Изоморфны ли поля и ? Можно ли сказать, что поля -изоморфны?

Задача 8. Доказать, что матрицы вида образуют поле изоморфное полю .

Задача 9. Построить поле разложения многочлена над полем .

Задача 10. Построить поле разложения многочлена над полем .

Раздел двадцатый

Конечные поля. Подполя конечного поля . Мультипликативная группа .

Первым конечным полем, как следует из предыдущих разделов, было поле классов вычетов по простому модулю , т.е. . Далее, был предложен его изоморфный образ . Рассмотрим общий подход к описанию и построению конечных полей.

Лемма 1. Если – конечное поле, являющееся расширением поля из q элементов, а , то поле состоит из элементов.

Лемма 2. Конечное поле такое, что , состоит из элементов, где есть степень над его простым подполем.

Последняя лемма есть прямое следствие предыдущей. Очевидно, что любое конечное поле имеет положительную характеристику. Теперь ясно, что количество элементов любого конечного поля есть некоторая натуральная степень его характеристики.

Лемма 3. Если – конечное поле из элементов, то для любого выполняется равенство .

Из этой леммы, в частности, следует, что ненулевые элементы поля суть корни степени из мультипликативной единицы поля 1.

Лемма 4. Если – конечное поле из элементов, являющееся расширением поля , и многочлен , то вполне разлагается над полем следующим образом:

,

так что поле есть поле разложения многочлена над полем .

Наконец, опираясь на предыдущие леммы, можно доказать главный результат в виде следующей теоремы.

Теорема 1. (существование и единственность конечного поля). Для каждого простого числа и каждого натурального числа существует конечное поле из элементов. Любое конечное поле из элементов изоморфно полю разложения многочлена над полем .

Эта теорема (своим выводом о единственности) позволяет говорить о вполне определенном поле данного порядка (т.е. о поле Галуа из элементов). Это поле обозначают , где число есть некоторая натуральная степень характеристики этого поля.

Теорема 2. (критерий подполя). Пусть – конечное поле из элементов, где . Тогда каждое подполе поля имеет порядок , где является делителем числа .

Обратно, если – положительный делитель числа , то существует ровно одно подполе поля из элементов.

Если элементы поля являлись корнями многочлена , то согласно последней теореме в нем содержится единственное подполе из элементов для каждого положительного делителя числа , и элементы этого подполя суть корни многочлена в поле .

Пример 1. Подполя конечного поля можно найти, составив список положительных делителей числа 30. Отношения включения между этими подполями указаны в следующей диаграмме.

/ | \

| / \ / \ |

\ | /

Следующий важный результат касается структуры мультипликативной группы конечного поля.

Теорема 3. Пусть – конечное поле. Тогда мультипликативная группа этого поля является циклической.

Определение 28. Образующий элемент циклической группы называется примитивным элементом поля .

Здесь следует отметить отличие по смысловому содержанию этого понятия от того, что предлагалось в комментарии к теореме 5 из восемнадцатого раздела. Как известно, группа содержит образующих элементов, где – функция Эйлера. Наличие примитивных элементов позволяет легко увидеть, что любое конечное поле есть простое алгебраическое расширение своего простого подполя.

Теорема 4. Пусть – конечное поле и – его конечное расширение. Тогда является простым алгебраическим расширением поля , причем образующим элементом этого простого расширения может служить любой примитивный элемент поля .

Дата добавления: 2014-11-16