Кінцево-різницеві методи

Перевага кінцево-різницевих методів в тому, що вони дозволяють звести розв’язок крайової задачі до розв’язку системи алгебраїчних рівнянь. При розв’язку двоточкової крайової задачі

, (10.7)

при і інтервал можна розділити на n рівних частин:

, (10.8)

де а В точках , що називаються вузлами, намагаються найти значення розв’язок . Знаючи координати вузлів користуючись кінцево-різницевими виразами для похідних

(10.9)

(10.10)

можна представити диференціальне рівняння у виді різницевого рівняння.

а) якщо початкове ЗДР лінійне, то задача буде складатися з розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь;

б) якщо початкове ЗДР нелінійне, то задача зводиться до розв’язування системи нелінійних алгебраїчних або трансцендентних рівнянь;

в) методи, алгоритми та програми розв’язування таких лінійних та нелінійних рівнянь відомі, але звести розв’язування крайової задачі методом кінцевих різниць до стандартної програми важко, оскільки формулювання кожної задачі залежить від вигляду рівняння, що розглядається.

Приклад 10.1. Нехай потрібно вирішити диференціальне рівняння при умовах і і кроці h=0.2. В різницевій формі це рівняння має вид

Використовуючи цю формулу і граничні умови можна виписати наступну систему чотирьох лінійних рівнянь з чотирма невідомими:

Дата добавления: 2014-11-08