Расположенность экономических агентов к риску

Применим анализ с позиций ожидаемой полезности к решению простой задачи выбора. Допустим, что в данный момент у потребителя имеется богатство на 10 долл. и он размышляет, стоит ли сыграть в игру, которая с вероятностью 50% принесет ему выигрыш 5 долл. и с вероятностью 50% — проигрыш 5 долл. Будущее богатство, следовательно, становится случайной величиной. Имеется вероятность 50%, что он останется с 5 долл., и вероятность 50%, что у него в итоге будет 15 долл.

Ожидаемое значение его богатства равно:

0,5 × 15 долл. + 0,5 × 5 долл. = 10 долл.

Ожидаемая полезность богатства в соответствии с (10.5) есть:

Графически ситуация представлена на рисунке (10.2).

Ожидаемая полезность богатства есть средняя и . Полезность ожидаемого значения богатства обозначена и(10$). На рисунке 10.2 ожидаемая полезность богатства меньше полезности ожидаемого значения богатства. То есть,

.

В этом случае считается, что потребитель не расположен к риску, поскольку предпочитает иметь ожидаемое значение своего богатства, нежели вступить в игру.

Рис 10.2. Случай экономического агента, не расположенного к риску

В противном случае предпочтения потребителя могли бы оказаться такими, что он предпочел бы случайное распределение богатства его ожидаемому значению. В таком случае считается, что потребитель расположен к риску. Графическое изображение такой ситуации представлено на рисунке 10.3.

Для потребителя, расположенного к риску, ожидаемая полезность богатства 0,5и(5)+0,5и(15) больше полезности ожидаемого значения богатства и(10).

Обращая внимание на различия между рис. 10.2 и рис. 10.3, необходимо подчеркнуть, что для потребителя, не расположенного к риску, функция полезности вогнутая — ее наклон, по мере возрастания богатства, уменьшается. Для потребителя, расположенного к риску, функция полезности выпуклая — ее наклон, по мере возрастания богатства, становится больше.

Следовательно, кривизна функции полезности измеряет отношение потребителя к риску. Как правило, чем более вогнута функция полезности, тем в большей степени потребитель не расположен к риску, а чем более она выпукла, тем в большей степени потребитель расположен к риску.

Рис. 10.3. Ситуация потребителя, расположенного к риску

Промежуточным является случай линейной функции полезности. Здесь потребитель нейтрален к риску: ожидаемая полезность богатства есть полезность его ожидаемого значения. В этом случае потребителя совершенно не заботит степень рискованности получения его богатства — его интересует лишь ожидаемое значение последнего.

Функция ожидаемой полезности может применяться для анализа спроса на страхование. Для проведения такого анализа воспользуемся данными примера 2, рассмотренного нами ранее.

Если начальное богатство потребителя составляет W, вероятность появления убытков π, возможные убытки равны L, потребитель приобретает страховой полис на сумму К и должен будет заплатить премию в размере К, то для него будут возможны следующие ситуации:

Ситуация с₁, в которой убытков нет, так что богатство потребителя составляет W — К.

Ситуация с₂, в которой потребитель несет убытки, так что его богатство составляет W – L + К - К

Тогда оптимальный выбор суммы страхования потребителем определяется условием равенства предельной нормы замещения (MRS) его потребления при одном исходе потреблением при другом исходе отношению цен:

(10.8)

Теперь посмотрим на страховой контракт с точки зрения страховой компании. С вероятностью ей придется выплатить К и с вероятностью — ничего не выплатить. Независимо от исхода она получит премию К. Тогда ожидаемая прибыль страховой компании Р есть (10.9)

(10.9)

Предположим, что в среднем контракт является для страховой компании безубыточным. Иными словами, она предлагает страхование по «справедливой» ставке страховой премии, где «справедливая» означает, что ожидаемое значение суммы страхования как раз равно издержкам на него. Тогда мы получаем (10.10)

(10.10)

что подразумевает .

Подставив это выражение в (10.8), получаем (11)

(10.11)

Взаимно сократив , получаем, что оптимальная сумма страховки должна удовлетворять условию (10.12).

(10.12)

Условие (10.12) показывает, что предельная полезность дополнительной единицы дохода в случае потери должна равняться предельной полезности дополнительной единицы дохода в случае отсутствия потери.

Предположим, что потребитель не расположен к риску, так что по мере увеличения имеющейся у него суммы денег предельная полезность денег для него снижается. Тогда, если , предельная полезность при будет меньше, чем предельная полезность при , и наоборот. Более того, если предельные полезности дохода при и равны, как в (10.12), то должно соблюдаться = . Применив формулы для и , мы находим для нашего примера

(10.13),

что подразумевает К = L. Это означает, что, имея шанс заплатить за страховку «справедливую» премию, потребитель, не расположенный к риску, всегда предпочтет застраховаться полностью. Так происходит потому, что полезность богатства в каждом состоянии зависит только от общей величины богатства, имеющейся у потребителя в этом состоянии, а не от того, что он мог бы иметь в каком-то другом состоянии. Если общие величины богатства, имеющиеся у потребителя в каждом состоянии, равны, то предельные полезности богатства также должны быть равны.

Если потребителю, который не расположен к риску и максимизирует ожидаемую полезность, предлагается сделка справедливого страхования от убытков, оптимальное его решение — застраховаться полностью.

Дата добавления: 2014-11-18