Функції

11.1. Зростання і спадання функції.

В означенні 1.17 введено поняття зростаючої і спадної функції. В цьому параграфі покажемо, як за допомогою першої похідної досліджувати функцію на монотонність.

Теорема 11.1. Необхідною і достатньою умовою зростання неперервної на і диференційованою на функції є невід’ємність її похідної на тобто:

зростає на на .

Доведення. Необхідність. Надамо аргументу х приріст і розглянемо відношення

.

Оскільки за умовою теореми – зростаюча функція, то

при ,

і

при .

В обох випадках

. (11.1)

За умовою нашої теореми

,

тому з (11.1) за теоремою 3.10 маємо . Що й треба було довести.

Достатність. Розглянемо два довільні значення аргументу х₁ і х₂ () з відрізка . За умовою нашої теореми на відрізку для функції виконуються умови теореми Лагранжа, тому маємо

, (11.2)

де . За умовою теореми , тому з (11.2) слідує, що , тобто – зростаюча функція

Аналогічна теорема має місце і для спадної функції.

Теорема 11.2. Необхідною і достатньою умовою спадання неперервної на і диференційованою на функції є недодатність її похідної на тобто:

спадна на на

Теореми 11.1 і 11.2 мають наступний геометричний зміст:

якщо на відрізку функція зростає, то дотична до кривої в кожній точці цього відрізку утворює з віссю ОХ гострий кут або (в деяких точках) – горизонтальна, тобто тангенс цього кута не невід’ємний (рис. 11.1);

якщо функція спадна на відрізку , то кут нахилу дотичної тупий або (в деяких точках) дотична горизонтальна, тобто тангенс цього кута не додатний (рис. 11.2).

Таким чином, доведена теорема дає змогу говорити про спадання або зростання функції в залежності від знаку її похідної.

Приклад 11.1. Знайти інтервали монотонності функції

.

Розв’язування. Похідна функції рівна

.

Тому при функція спадає, так як тут ,, а при функція зростає, так як – (рис. 11.3).

11.2. Максимум і мінімум функції.

Означення 11.1. Функція має максимум в точці х₁ , якщо можна знайти окіл точки х₁ такий, що для всіх точок цього околу виконуватиметься нерівність .

Так функція (рис. 11.4) має максимум в точках х₁ і х₂.

Означення 11.2. Функція має мінімум в точці х₂ , якщо можна знайти окіл точки х₂ такий, що для всіх точок цього околу виконуватиметься нерівність .

Отже, функція (рис. 11.4) має мінімум в точках х₂ і х₄.

Зауваження 11.1. Функція, яка визначена на відрізку, може досягати максимальних і мінімальних значень тільки в точках, розташованих в середині цього відрізка.

Зауваження 11.2. Максимум і мінімум функції не завжди є відповідно найбільшим і найменшим значенням функції на розглядуваному відрізку.

Наприклад, функція, яка зображена на рис. 11.4, найменше значення на відрізку набуває в точці х₂ , тобто в точці мінімуму, а найбільше – в точці b, а не х₁ або х₃ .

11.3. Необхідна умова існування екстремуму.

Означення 11.3. Максимуми і мінімуми функції називають екстремумами або екстремальними значеннями функції.

Сформулюємо необхідну умову існування екстремуму функції.

Теорема 11.3. Якщо диференційована функція має в точці екстремум, то .

Доведення. Нехай в точці функція має максимум. Тоді з означення максимуму випливає, що при малих за абсолютним значенням приростах справедлива нерівність

.

Тому знак відношення

визначається знаком , тобто

при (11.3)

при . (11.4)

За означенням похідної

,

причому значення границі не залежить від того, як прямує до нуля (залишаючись від’ємним чи додатним). А з нерівностей (11.3) і (11.4) виходить, що

(11.5)

Оскільки похідна є певним значенням, то нерівності (11.5) сумісні тільки при .

Аналогічно проводиться доведення для випадку мінімуму функції

Геометричний зміст цієї теореми полягає в наступному (рис. 11.4): якщо в точках максимуму або мінімуму функція має похідну, то дотична до кривої в цих точках горизонтальна. Справді, в цьому випадку , тобто .

Наслідок 11.3. Диференційована на інтервалі функція може набувати екстремуму тільки в тих точках х, де .

Це слідує безпосередньо з теореми 11.3

Зворотній висновок неправильний: не при всіх значеннях аргументу, де похідна функції рівна нулю, існує максимум або мінімум функції.

Приклад 11.2. Похідна функції в точці дорівнює нулю, але в цій точці функція не має ні максимуму, ні мінімуму (рис. 11.5).

11.4. Достатня умова існування екстремуму.

Ми розглядали функцію, диференційовану на інтервалі. Але екстремум може досягатися і в точках, де похідна не існує.

Приклад 11.3. Розглянемо функцію . Її областю визначення є відрізок , а похідна

не існує в точках . Але в точці задана функція набуває максимуму: (рис. 11.6).

Приклад 11.4. Для функції похідна

не існує при . Але в цій точці функція не має ні максимуму ні мінімуму (рис. 11.7).

Таким чином, функція може набувати екстремуми тільки в точках, де похідна дорівнює нулю або не існує (зазнає розриву).

Означення 11.4. Значення аргументу, при яких похідна функції існує і дорівнює нулю або не існує (зазнає розриву), називаються критичними точками цієї функції.

Згідно з прикладами (11.2)–(11.4), не в усіх критичних точках функція набуває екстремуму.

Теорема 11.4. (достатня умова існування екстремуму). Нехай – критична точка функції , яка є неперервною на інтервалі і диференційованою за всіх значень крім, можливо, точки х₁ .

Тоді,

якщо похідна при переході аргументу через точку х₁ зліва на право міняє свій знак з “ + ” на “–”, то в точці функція набуває максимуму;

якщо ж знак змінюється з “–” на “ + ”, то в точці функція набуває мінімуму.

Доведення. Нехай похідна змінює знак з “ + ” на “–”, тобто для всіх значень х, досить близьких до х₁ маємо:

Треба показати, що .

З умови теореми випливає, що функція неперервна на відрізку (або ) і диференційована на інтервалі (або ), тому за теоремою Лагранжа можна записати

, (11.6)

де z розташоване між х і х₁ .

Для маємо:

, і .

Тому з (11.6) виходить, що . Аналогічно для :

, і ;

тому – . Таким чином, для всіх значень х, досить близьких до х₁ , виконується нерівність , тобто в точці х₁ функція набуває максимуму.

Аналогічно доводиться друга частина теореми – про достатню умову існування мінімуму

11.5. Дослідження функції на екстремум за

Дата добавления: 2014-11-18