Условия устойчивости импульсных систем

Степень характеристического уравнения	Условия устойчивости
m=l	,
m=2	, ,
m=3   и т.д.	, , ,

Сложность условий устойчивости резко возрастает с ростом степени m характеристического полинома замкнутой системы. Поэтому практически алгебраический критерий используется при m 3.

Аналог критерия Михайлова. Для устойчивости линейной импульсной системы m-го порядка необходимо и достаточно, чтобы изменение аргумента функции при изменении частоты от 0 до равнялось бы значению , то есть

(1.97)

Здесь получается путем замены z на в характеристическом полиноме замкнутой импульсной системы

На рис. 1.14 приведены аналоги кривых Михайлова для устойчивой и неустойчивой импульсной системы при m = 3.

Рис. 1.14. Аналоги годографов Михайлова

Аналог критерия Найквиста. Если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости замкнутой импульсной системы требуется, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой импульсной системы не охватывала точку с координатами (-1, j0). Для устойчивости замкнутой

системы при неустойчивой разомкнутой цепи требуется, чтобы амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой цепи охватывала точку (-1, j0) на угол (против часовой стрелки), где р - число полюсов разомкнутой цепи, лежащих вне единичного круга .

Рис. 1.15. АФЧХ устойчивых импульсных систем

На рис. 1.15 показаны амплитудно-фазовые частотные характеристики устойчивых импульсных систем.

Для пользования критериями устойчивости Гурвица и Михайлова в обычной формулировке отображают внутренность круга единичного радиуса плоскости z на левую полуплоскость комплексной переменной w (рис. 1.16) с помощью конформного преобразования

(1.98)

Рис. 1.16. Конформное преобразование

После подстановки z из (1.98) в (1.95) получим преобразованное характеристическое уравнение импульсной системы

(1.99)

которое приводится к виду

(1.100)

Все корни z_i уравнения (1.95), лежащие внутри единичного круга, перейдут в левую полуплоскость w (рис. 1.16). Поэтому при использовании преобразованного характеристического уравнения (1.100) для устойчивости импульсной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни w _i (i = 1, 2,..., m) имели отрицательные вещественные части. Границей устойчивости служит мнимая ось.

Для исследования устойчивости импульсных систем могут применяться также логарифмические частотные характеристики в той же формулировке, что и для обыкновенных линейных систем.

Дата добавления: 2014-11-08