Пример 4.3.4

Несобственные интегралы второго рода

Определение. Пусть функция f(x) определена на интервале [a,b) и для любого 0<ε<b-а интегрируема на сегменте [а,b-ε] и . Несобственным интегралом второго рода по промежутку [a,b] от неограниченной функции f(x) называется . Если этот предел существует, то интеграл называется сходящимся, в противном случае - расходящимся.

Аналогично определяются следующие интегралы:

1. f(x) определена на интервале (a,b], , интегрируема на сегменте [a + ε,b] и . Тогда ;

2. f(x) определена на интервале . интегрируема на и Тогда

.

следовательно, интеграл сходится и равен 8/3.

При оценке сходимости несобственных интегралов второго рода ис­пользуют следующие признаки сравнения.

Теорема. Пусть f(x), g(x) определены на интервале [а,b), для любого 0<ε<b-а интегрируемы на сегменте [а,b-ε] и .

Пусть 0≤f(x)≤g(x), . Тогда из сходимости следует сходимость , а из расходимости - расходимость .

Теорема. Пусть f(x), g(x) определены на интервале [a,b) для любого 0<ε<b-а интегрируемы на сегменте [а,b-ε] и .

Если , то интегралы и ведут себя одинаково в смысле сходимости.

Пример 4.3.5. Исследовать сходимость .

Решение. Особой точкой функции является точка х = 0. При x→0+0 функция эквивалентна , т. к. . Поэтому исходный интеграл в смысле сходимости ведет себя так же, как интеграл,

,

который сходится. Следовательно, и исходный интеграл сходится.

Заметим, что в качестве модельного интеграла, с которым производиться сравнение заданного интеграла (а-особая точка), обычно используется интеграл . Он сходится при α<1 и расходится при α≥1.

Дата добавления: 2014-11-20