КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
D-разбиение по одному(комплексному) параметру
Предположим, что требуется выяснить влияние на устойчивость какого-либо параметра ν, линейно входящего в характеристическое уравнение. Для этого сначала характеристическое уравнение приводят к виду (3.131) где S(s) — полином, не зависящий от ν; N(s) — полином, содержащий ν множителем. Граница D-разбиения определяется уравнением (3.132) откуда (3.133) Так как изменяемый параметр v в линейных системах является не комплексным, а вещественным числом (коэффициент усиления, постоянная времени и т. д.), то (3.133) следовало бы дополнить условием Y (ω) = 0. Однако при первоначальном построении не будем делать этого ограничения и будем временно считать изменяемый параметр комплексной величиной v, отмечая это чертой сверху, чтобы отличить ее от вещественного значения v. Давая ω значения от— ∞ до ∞, можно по (3.133) вычислить X(∞) и Y (∞) и построить на комплексной плоскости v границу D-разбиения. При построении границы D-разбиения достаточно построить ее для положительных значений ω и затем дополнить зеркальным отображением построенного участка относительно действительной оси (рис. 3.30 б).
Рис. 3.30. Построение границы D-разбиения
Если при изменении ω от — ∞ до в плоскости корней двигаться по мнимой оси и штриховать ее слева (рис. 3.30а), то такому движению в плоскости ν¯ соответствует движение по границе D-разбиения, которую также штрихуют слева по обходу при изменении ω от — ∞ до ∞ (рис. 3.30 б). Если в плоскости ν¯ пересекать границу D-разбиения по направлению штриховки (стрелка 1), то в плоскости корней один из корней переходит из правой полуплоскости в левую. Если же в плоскости ν¯ пересекать границу D-разбиения против штриховки (стрелка 2),то в плоскости корней, один из корней переходит из левой полуплоскости в правую.
Если штриховка двойная (например, в точке пересечения кривых), то мнимую ось пересекают два корня. Для определения области D(m),и в частности области устойчивости D(0), достаточно знать распределение корней (т.е. число правых и левых корней) при каком-либо одном произвольном значении параметра ν¯ = ν¯0. Переходя в плоскости ν¯ от этого параметра к любому другому, по числу пересечений границы D-разбиения, направлению и числу штриховок можно определить значение D(m)в любой другой точке. Претендентом на область устойчивости является область, внутрь которой направлена штриховка и которая поэтому соответствует области с наибольшим числом левых корней. Чтобы установить, является ли эта область действительно областью устойчивости, необходимо задаться каким-либо значением ν¯0, лежащим в этой области. Подставив ν¯0 в характеристическое уравнение, нужно, используя любой критерий устойчивости, установить, все ли корни характеристического уравнения будут при этом левыми. Если при этом не все корни будут левыми, то области устойчивости нет, т. е. изменением только параметра v нельзя сделать систему устойчивой. Так как изменяемый параметр является вещественным числом; то из полученной области устойчивости выделяют только отрезок устойчивости, т. е. отрезок вещественной оси, лежащий в области устойчивости, например отрезок АБ на рис. 3.30 б. Пример. Пусть характеристическое уравнение замкнутой системы автоматического управления (3.134) где К— коэффициент усиления разомкнутой системы; Т1, Т2, Т3 — постоянные времени отдельных динамических звеньев. Требуется построить границу D-разбиения в плоскости коэффициента усиления разомкнутой системы К. Запишем характеристическое уравнение в виде
(3.135) где , , . (3.136) Подставляя в характеристическое уравнение s = jω, получаем выражение для границы D-разбиения: (3.137) откуда (3.138) где (3.139) (3.140) Задаваясь различными значениями частоты ω > 0, определяем X(ω) и Y(ω) и строим на комплексной плоскости кривую D-разбиения, соответствующую положительным частотам (сплошная линия на рис. 3.31). Ветвь кривой D-разбиения, соответствующую отрицательным частотам ω < 0, находим как зеркальное отображение относительной вещественной оси построенного участка для ω > 0 (пунктирная линия на рис. 3.31). Затем кривую D-разбиения штрихуем слева по обходу при изменении частоты ω от — ∞ до ∞. Рис. 3.31. Кривая D-разбиения
Кривая D-разбиения делит плоскость на три области: I, I I и I I I. Претендентом на область устойчивости является область I, так как к ней направлена штриховка. Чтобы проверить, действительно ли эта область является областью устойчивости, задаемся значением , лежащим в этой области, подставляем его в характеристическое уравнение и определяем корни получающегося при этом характеристического уравнения , (3.141) все корни s1=-1/T1, s2=-1/T2, s3=-1/T3 которого являются левыми; следовательно, область I является областью устойчивости D(0) Так как коэффициент усиления Кне является комплексной величиной, то нас будет интересовать только отрезок устойчивости АБ, совпадающий с действительной осью, находящейся в области устойчивости. Система будет устойчива, если значение Кизменяется в пределах - 1 < К < ККР. Отрицательным значениям Ксоответствует положительная обратная связь. Для нахождения ККР следует определить сначала значение ω, при котором Y(ω) = 0. Если корень этого уравнения ω = ω 0, то ККР = X(ω0). Производя вычисления, получаем (3.142) , (3.143) где τ2=Т2/Т1, τ2=Т3/Т1. (3.144) На рис. 3.31 показаны области D(0), D(1) и D(2). Область D(3) в данном случае отсутствует. Это означает, что при положительных значениях Т1, Т2и Т3и любом значении Кневозможно, чтобы все три корня характеристического уравнения одновременно были правыми.
Дата добавления: 2014-11-20; Просмотров: 3975; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |