Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

D-разбиение по одному(комплексному) параметру




Предпо­ложим, что требуется выяснить влияние на устойчивость како­го-либо параметра ν, линейно входящего в характеристичес­кое уравнение. Для этого сначала характеристическое уравне­ние приводят к виду

(3.131)

где S(s) — полином, не зависящий от ν; N(s) — полином, со­держащий ν множителем.

Граница D-разбиения определяется уравнением

(3.132)

откуда

(3.133)

Так как изменяемый параметр v в линейных системах яв­ляется не комплексным, а вещественным числом (коэффициент усиления, постоянная времени и т. д.), то (3.133) следовало бы дополнить условием Y (ω) = 0. Однако при первоначальном построении не будем делать этого ограничения и будем времен­но считать изменяемый параметр комплексной величиной v, отмечая это чертой сверху, чтобы отличить ее от вещественного значения v.

Давая ω значения от— ∞ до ∞, можно по (3.133) вычислить X(∞) и Y (∞) и построить на комплексной плоскости v границу D-разбиения.

При построении границы D-разбиения достаточно постро­ить ее для положительных значений ω и затем дополнить зер­кальным отображением построенного участка относительно действительной оси (рис. 3.30 б).

 

Рис. 3.30. Построение границы D-разбиения

 

Если при изменении ω от — ∞ до в плоскости корней двигаться по мнимой оси и штриховать ее слева (рис. 3.30а),

то такому движению в плоскости ν¯ соответствует движение по границе D-разбиения, которую также штрихуют слева по обходу при изменении ω от — ∞ до ∞ (рис. 3.30 б).

Если в плоскости ν¯ пересекать границу D-разбиения по на­правлению штриховки (стрелка 1), то в плоскости корней один из корней переходит из правой полуплоскости в левую. Если же в плоскости ν¯ пересекать границу D-разбиения против штриховки (стрелка 2),то в плоскости корней, один из корней переходит из левой полуплоскости в правую.

Если штриховка двойная (например, в точке пересечения кривых), то мнимую ось пересекают два корня.

Для определения области D(m),и в частности области устойчивости D(0), достаточно знать распределение корней (т.е. число правых и левых корней) при каком-либо одном произ­вольном значении параметра ν¯ = ν¯0. Переходя в плоскости ν¯ от этого параметра к любому другому, по числу пересечений гра­ницы D-разбиения, направлению и числу штриховок можно определить значение D(m)в любой другой точке.

Претендентом на область устойчивости является область, внутрь которой направлена штриховка и которая поэтому со­ответствует области с наибольшим числом левых корней. Что­бы установить, является ли эта область действительно обла­стью устойчивости, необходимо задаться каким-либо значе­нием ν¯0, лежащим в этой области. Подставив ν¯0 в характерис­тическое уравнение, нужно, используя любой критерий устой­чивости, установить, все ли корни характеристического урав­нения будут при этом левыми. Если при этом не все корни бу­дут левыми, то области устойчивости нет, т. е. изменением только параметра v нельзя сделать систему устойчивой.

Так как изменяемый параметр является вещественным чис­лом; то из полученной области устойчивости выделяют только отрезок устойчивости, т. е. отрезок вещественной оси, лежа­щий в области устойчивости, например отрезок АБ на рис. 3.30 б.

Пример. Пусть характеристическое уравнение замкнутой системы автоматического управления

(3.134)

где К— коэффициент усиления разомкнутой системы; Т1, Т2, Т3 — по­стоянные времени отдельных динамических звеньев.

Требуется построить границу D-разбиения в плоскости коэффици­ента усиления разомкнутой системы К.

Запишем характеристическое уравнение в виде

(3.135)

где , , . (3.136)

Подставляя в характеристическое уравнение s = jω, получа­ем выражение для границы D-разбиения:

(3.137)

откуда

(3.138)

где

(3.139)

(3.140)

Задаваясь различными значениями частоты ω > 0, определяем X(ω) и Y(ω) и строим на комплексной плоскости кривую D-разбиения, соответствующую положительным частотам (сплошная линия на рис. 3.31). Ветвь кривой D-разбиения, соответствующую отрицатель­ным частотам ω < 0, находим как зеркальное отображение относитель­ной вещественной оси построенного участка для ω > 0 (пунктирная ли­ния на рис. 3.31). Затем кривую D-разбиения штрихуем слева по обхо­ду при изменении частоты ω от — ∞ до ∞.

Рис. 3.31. Кривая D-разбиения

 

Кривая D-разбиения делит плоскость на три области: I, I I и I I I. Претендентом на область устойчивости является область I, так как к ней направлена штриховка. Чтобы проверить, действительно ли эта область является областью устойчивости, задаемся значением , лежащим в этой области, подставляем его в характеристическое уравнение и определяем корни получающегося при этом характеристического уравнения

, (3.141)

все корни s1=-1/T1, s2=-1/T2, s3=-1/T3 которого являются левыми; следовательно, область I является об­ластью устойчивости D(0)

Так как коэффици­ент усиления Кне яв­ляется комплексной величиной, то нас будет интересовать только отрезок устойчивости АБ, совпадающий с действительной осью, на­ходящейся в области устойчивости.

Система будет устойчива, если значение Кизменяется в пределах - 1 < К < ККР. Отрицательным значениям Ксоответствует положи­тельная обратная связь. Для нахождения ККР следует определить сна­чала значение ω, при котором Y(ω) = 0. Если корень этого уравнения ω = ω 0, то ККР = X(ω0). Производя вычисления, получаем

(3.142)

, (3.143)

где τ221, τ231. (3.144)

На рис. 3.31 показаны области D(0), D(1) и D(2). Область D(3) в данном случае отсутствует. Это означает, что при положительных значениях Т1, Т2и Т3и любом значении Кневозможно, чтобы все три корня характеристического уравнения одновременно были правыми.

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-11-20; Просмотров: 3975; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.018 сек.