КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Доведення
Доведення. Дійсно, візьмемо . Візьмемо . Якщо , то . Таким чином, при всі члени послідовності знаходяться в околі точки радіуса 1, а поза цим околом знаходиться лише скінченне число членів послідовності. Отже, вся ця послідовність обмежена.
Теорема Коші (критерій збіжності Коші). Для того, щоб послідовність була збіжною, необхідно і достатньо, щоб вона була фундаментальною. Необхідність. Нехай збіжна і . Доведемо фундаментальність . Нехай , тоді, оскільки , то знайдеться таке число . В якості візьмемо , тоді . Отже, – фундаментальна. Достатність. Нехай - фундаментальна. Тоді . Так як фундаментальна послідовність обмежена, то у неї є збіжна підпослідовність . Нехай . Тоді для того ж . Позначимо через . Нехай , де . Тоді при . Отже, . 3.7. Найбільша і найменша часткова границя
Означення. Границя підпослідовності даної послідовності називається її частковою границею. Теорема. В розширеній множині дійсних чисел множина часткових границь послідовності має найбільший і найменший елемент. Позначення: – нижня (найменша часткова) границя; – верхня (найбільша часткова) границя. Теорема. Послідовність збігається в тоді і тільки тоді, коли її нижня границя дорівнює її верхній границі.
4. ГРАНИЦЯ І НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЇ
4.1. Основні елементарні функції
1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. Гіперболічні функції: – гіперболічний косинус; – гіперболічний синус; – гіперболічний тангенс; – гіперболічний котангенс. Деякі основні властивості гіперболічних функцій: 1) 2) 3) 4) 5) Означення. Функція називається елементарною, якщо вона може бути явним чином задана за допомогою формули, що містить лише скінченне число арифметичних дій і суперпозицій основних елементарних функцій.
Всі елементарні функції поділяються на класи: 1. Многочлени: . 2. Дробово-раціональні: , де - многочлени, причому ‑ ненульовий многочлен. 3. Ірраціональні – функції, що не є раціональними, і які можуть бути задані за допомогою суперпозицій скінченого числа раціональних функцій, степеневих функцій з раціональними показниками та чотирьох арифметичних дій. 4. Трансцендентні – елементарні функції, що не є ні раціональними, ні ірраціональними (логарифм, синус і т. ін.) Приклади неелементарних функцій. 1. Функція Діріхле: 2. Функція знака: .
4.2. Границя функції
Означення. Проколотим -околом точки називається її -окіл, з якого вилучена сама точка , тобто . Нехай функція визначена на множині , і – гранична точка цієї множини. Означення границі за Гейне. Точка називається границею функції при прямуючому до (в точці ), якщо для будь-якої послідовності , послідовність має своєю границею точку , тобто . У цьому випадку пишуть . Означення границі за Коші. Точка називається границею функції при прямуючому до (в точці ), якщо . У цьому випадку пишуть . Теорема. Означення границі функції за Коші і за Гейне еквівалентні.
Дата добавления: 2014-11-20; Просмотров: 1166; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |