Коэффициент детерминации

Проверка общего качества уравнения регрессии.

После проверки значимости каждого коэффициента регрессии обычно проверяется общее качество уравнения, которое оценивается по тому, как хорошо эмпирическое уравнение регрессии согласуется со статистическими данными. Другими словами, насколько широко рассеяны точки наблюдений относительно линии регрессии.

Пусть на основе выборочных наблюдений построено уравнение регрессии , тогда значение зависимой переменной y в каждом наблюдении можно разложить на две составляющие:

,

где остаток ‒ та часть зависимой переменной y, которую невозможно объяснить с помощью уравнения регрессии. Разброс значений зависимой переменной характеризуется выборочной дисперсией . Разложим дисперсию :

,

где ‒ выборочная ковариация переменных и e. Поскольку , то (такое разложение возможно, если только константа включена в уравнение регрессии). Таким образом, дисперсия разложена на две части:

‒ часть, объясненная регрессионным уравнением;

‒ необъясненная часть.

Коэффициентом детерминации называется отношение

,

характеризующее долю вариации (разброса) зависимой переменной, объясненную с помощью уравнения регрессии. Отношение есть доля

необъясненной дисперсии. Если , то подгонка точная: , , , , т.е. все точки наблюдения лежат на регрессионной прямой. Если , то регрессия ничего не дает (т.е. переменная x не улучшает качества предсказания y по сравнению с горизонтальной прямой ):

, , , .

Чем ближе к единице , тем лучше качество подгонки, т.е. более точно аппроксимирует y.

Как правило , но в исключительных случаях возможно нарушение неравенства . Последнее происходит обычно для линейных уравнений, в которых отсутствует свободный член . Оценивая такое уравнение по МНК, мы вынуждены рассматривать лишь те прямые (гиперплоскости), которые проходят через начало координат. Значение получается отрицательным тогда, когда разброс значений зависимой переменной вокруг линии меньше, чем вокруг любой из прямых, проходящих через начало координат.

Для определения статистической значимости коэффициента детерминации проверяется гипотеза

,

.

Для проверки нулевой гипотезы используется статистика:

,

которая при справедливости имеет распределение Фишера (F -распределение) с , степенями свободы. Вычисленный критерий F сравнивается с критическим значением F _кр.:

‒ если , то нет оснований для отклонения , т.е. статистически незначим (говорят еще, что уравнение регрессии незначимо в целом);

‒ если , то нет оснований для отклонения , т.е. статистически значим (уравнение регрессии значимо в целом).

Замечание. В случае парной регрессии коэффициент детерминации есть квадрат коэффициента корреляции переменных x и y: .

Дата добавления: 2014-11-20