Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии

Эмпирическое уравнение регрессии определяется на основе конечного числа статистических данных. Поэтому коэффициенты эмпирического уравнения регрессии являются случайными величинами, изменяющимися от выборки к выборке. При проведении статистического анализа перед исследователем зачастую возникает необходимость сравнения теоретических значений и с некоторыми заданными значениями. Данный анализ осуществляется по схеме статистической проверки гипотез. Пусть по выборочным данным получена оценка . Для проверки гипотезы

,

используется статистика

,

которая при справедливости имеет распределение Стьюдента с степенями свободы. По выборке вычисляется значение t -статистики ‒ . По таблице критических точек распределения Стьюдента по заданному уровню значимости α и числу степеней свободы находят критическую точку . Тогда

‒ если , то нет оснований для отклонения ;

‒ если , то отвергается в пользу .

Замечание. В экономических исследованиях проверку гипотез осуществляют, как правило, при 5%-ном и 1%-ном уровнях значимости. Если нулевая гипотеза отклоняется при 1%-ном уровне значимости, то она автоматически отклоняется и при 5%-ном уровне, а если не отвергается при 5%-ном уровне, то не отвергается и при 1%-ном уровне. Если при 5%-ном уровне значимости гипотеза отклоняется, а при 1%-ном ‒ не отвергается, то результаты проверки гипотезы приводятся при двух уровнях значимости.

Результаты оценивания регрессии совместимы не только с конкретной гипотезой , но и с некоторым множеством значений, совместимых с оценкой . Точнее, значение совместимо с , если не отвергается, т.е. выполняется условие

, или .

Разрешив это неравенство относительно , и учитывая, что гипотеза не отвергается, получим доверительный интервал для неизвестного коэффициента :

.

Посредине интервала лежит величина . Границы интервала симметричны относительно , зависят от выбора уровня значимости и являются случайными числами. Доверительный интервал покрывает значение с заданной вероятностью , т.е.

.

Наиболее важной на начальном этапе статистического анализа построенной модели все же является задача установления наличия линейной зависимости между Y и X. Эта проблема может быть решена по той же схеме:

,

.

Гипотеза в такой постановке называется гипотезой о статистической значимости коэффициента регрессии. При этом, если не отвергается, то есть основания считать, что величина Y не зависит от X (точнее связь между этими двумя переменными далека от линейной зависимости). В этом случае говорят, что коэффициент статистически незначим (он слишком близок к нулю). При отклонении коэффициент считается статистически значимым, что указывает на наличие определенной линейной зависимости между Y и X. В данном случае рассматривается двусторонняя критическая область, т.к. важным является именно отличие от нуля коэффициента регрессии, и он может быть как положительным, так и отрицательным.

Поскольку в данном случае полагается, что , то формально значимость оцененного коэффициента регрессии проверяется с помощью анализа отношения его величины к его стандартной ошибке . В случае выполнения исходных предпосылок модели эта дробь имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы , где n ‒ число наблюдений. Данное отношение называется t -статистикой:

.

Для t -статистики проверяется нулевая гипотеза о равенстве ее нулю. Очевидно, что равнозначно . Фактически это свидетельствует об отсутствии линейной связи между Y и X. По аналогичной схеме на основе t -статистики проверяется гипотеза о статистической значимости коэффициента :

.

Отметим, что для парной регрессии более важным является анализ статистической значимости коэффициента , т.к. именно в нем скрыто влияние объясняющей переменной X на зависимую переменную Y.

Дата добавления: 2014-11-20