КАТЕГОРИИ:
Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)
Свойства определителей. 1 страница
|
|
|
|
а)Для всякой матрицы порядка n имеет место формула разложения определителя ее по первому столбцу:
det A= 
б) Определитель транспонированной матрицы (квадратной) равен определителю исходной матрицы, т.е.
.
в) При перестановке местами двух строк или двух столбцов матрицы определитель ее сохраняет абсолютную величину, но меняет знак на противоположный.
; k= 1,2,¼, n; b,c Î R,
то 
,
где 
и 
- матрицы полученные из А заменой s- ого столбца ее на столбцы (a) и (b) соответственно.
д) Определитель матрицы A равен нулю, если:
1. Матрица A имеет одинаковые строки или столбцы;
2. Строка (столбец) матрицы A является линейной комбинацией других строк (столбцов);
3. Матрица A имеет нулевую строку или столбец.
е) Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на их алгебраические дополнения равна определителю этой матрицы.
ё)Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения соответствующих элементов любой другой строки (столбца) равна нулю.
ж) Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей этих матриц.
з)если строку\столбец матрицы умножить на число, то ее определитель увеличится на это число.
и)если сложить поэлементно 2 строки\столбца, одну из них домножив на число, то определитель не изменится.
к)определитель матрицы треугольного вида = произведению её главной диагонали
и определителем отличным от нуля. Такие матрицы в дальнейшем будем называть невырожденными.
Квадратные невырожденные матрицы А и В порядка n называются взаимно обратными, если их произведение коммутативно и равно единичной матрице, т.е. АВ=ВА=Е. Обратная матрица к матрице А обозначается символом 
и удовлетворяет условию А 
= 
А=Е.
Существование обратной матрицы
Теорема. Для того чтобы матрица А имела обратную необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля, т.е. матрица А невырожденная.
НА КЛЕЧ.ЛИСТКЕ.
будем называть направленный отрезок, имеющий начало в точке А и конец в точке В. Вектор часто обозначают одной буквой, например, 
.
Модулем или длиной вектора 
= 
называют длину отрезка АВ и обозначают символом | | º | 
| º а.
Вектор, начало и конец которого совпадают, т.е. 
, будем называть нуль-вектором и обозначать символом 
. Направление нуль-вектора можно выбирать произвольно.
Два вектора 
и 
называются равными, если:
a. Длины векторов равны, т.е. | 
| = | 
|;
b. Векторы 
и 
параллельны, т.е. расположены на параллельных или совпавших прямых;
c. Векторы 
и 
одинаково направлены (рис. 7).
Рис.7
l
В дальнейшем условимся не различать равные векторы, т.е. множество равных векторов будем понимать как один вектор, имеющий начало в произвольной точке, так называемый свободный вектор.
2.Сложение векторов.
Суммой векторов , , 
будем называть вектор 
, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец совпадает с концом последнего вектора, при условии что начало последующего вектора совпадает с концом предыдущего (рис. 8)
Замечание. Для сложения двух векторов можно воспользоваться «правилом параллелограмма»: суммой двух векторов и называется третий вектор , имеющий общее начало с векторами и и совпадающий с диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах (рис. 9).
Операция сложения векторов обладает свойствами:
1. + = + ;
2. +( + 
)=( + )+ 
3. + 
= ;
4. Вектор - называется противоположным вектору ; вектор - имеет длину равную длине вектора , но противоположное направление, т.е. 
+(- )= 
.
3.Вычитание векторов.
Разностью двух векторов и 
будем называть сумму векторов и - , т.е. +(- ) (рис. 10).
4.Умножение вектора на число.
Произведением вектора на число l называется вектор длины
| 
| = | l |× а, направление которого совпадает с направлением , если l > 0, противоположно , если l < 0. При l=0 =0.
Операция умножения вектора на число обладает свойствами:
(a+b) =a +b , a,bÎR;
a( + )=a +a ;
a(b )=(ab) ;
1´ = , (-1)´ =- , 0´ = .
Замечание. Вектор 
называется единичным вектором или ортом направления, определяемого вектором . Очевидно имеет место равенство = а 
.
5.Коллинеарные векторы.
Два вектора 
и 
называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых.
Заметим, что нулевой вектор коллинеарен любому вектору.
Теорема 1. Для того чтобы два вектора и были коллинеарны необходимо и достаточно, чтобы они были пропорциональны, т.е. имело место равенство 
=l 
, lÎ R.
6.Компланарные векторы.
Три или более векторов называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
Теорема 2. Для того чтобы три вектора , , были компланарными необходимо и достаточно, чтобы один из них был линейной комбинацией двух других, т.е. 
=a 
+b , a,bÎ R.
Доказательство.
Необходимость. Пусть векторы , , компланарны, расположены в одной плоскости и имеют общее начало О (этого можно достичь параллельным переносом).
Предположим сначала, что среди этих векторов существуют два неколлинеарных вектора, например и . Тогда представляя вектор 
в виде суммы векторов 
и 
, соответственно коллинеарных и , будем иметь
= 
+ (рис. 11)
Так как векторы и , и попарно коллинеарны, то 
=b 
=a и 
=a 
+b 
. Если все три вектора коллинеарны, то вектор можно представить в виде 
=a +0 
Достаточность. Пусть векторы , , удовлетворяют условию =a +b . В этом случае вектор лежит в той же плоскости, что и векторы и , в силу определенных операций: сложения векторов и умножения вектора на число.
Теорема доказана.
на ось Z наз. число 
= 
j, где j - угол между вектором 
и направлением оси Z.
Если = 
, то проекция его на любую ось равна нулю.
Проекция вектора на ось Z обозначается символом 
= 
(рис. 12).
Вектор 
называется составляющей вектора 
по оси Z, причем 
= 
, где - орт оси Z.
Замечание. Проекция 
вектора на ось Z положительна, если jÎ[0, p/2) (рис. 12а), равна нулю, если j=p/2, и отрицательна, если jÎ(p/2, p] (рис. 12б). Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.
Теорема 3. Проекция суммы векторов на данную ось равна сумме проекций этих векторов на ту же ось, т.е. (
+ + )= 
+ 
+ 
.
Доказательство.
Пусть заданы векторы 
, 
, 
, суммой которых является вектор 
(рис.13). Тогда имеем 
.
Однако 
, откуда и получаем 
.
Теорема 4. При умножении вектора на число его проекция на данную ось умножается на то же число, т.е. 
(l )=l .
Доказательство.
Из определения проекции вектора на ось Z имеем: = 
j1, 
(l )=|l| 
j2, где j1, j2 - значения углов, которые составляют векторы и l с осью Z. В случае l>0, cos j1=cos j2, получаем l =l 
j1=l .
Если же l<0, - cos j1=cos j2, то 
l =|l| 
j2=-l (-cos j1)=l 
. При l=0 имеем l =l 
=0.
Теорема доказана.
Свойства проекции
и называется число, равное произведению модулей этих векторов и косинуса угла между ними.
Скалярное произведение векторов и обозначается символом или (, ), т.е. (, )=ab cosj (рис. 3).
Вспоминая понятие проекции вектора на ось, можно заключить следующее: скалярное произведение двух векторов и равно длине одного из них умноженной на проекцию другого на направление первого, т.е. (, )= 
Свойства скалярного произведения векторов:
1. (, )=(, ) - следствие определения,
2. 
- так как 
= 
3. 
- так как 
,
4. 
- так как 
,
5. 
- следствие свойств 2 и 4.
Заметим, что косинус угла j между не нулевыми векторами и находится по формуле Cos j= 
(2)
Из равенства (3.2) следует, что ненулевые векторы и перпендикулярны лишь в том случае, если их скалярное произведение равно нулю, т.е. (
, )=0; Cos j=0; j=p/2.
Замечание. Нулевой вектор считается перпендикулярным любому другому вектору.
Некоторые следствия.
1.Проекция вектора на направление вектора равна скалярному произведению вектора на орт вектора .
Действительно, если векторы и образуют между собой угол j, то 
где 
орт вектора .
2. Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующих координат.
На самом деле, если векторы и заданы в координатной форме, т.е. 
Тогда имея в виду свойства скалярного произведения, и т.к.
, 
, получим
.
3. Косинус угла j между двумя векторами 
и , заданных координатами, определяется по формуле 
. Данная формула является следствием (2)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дата добавления: 2014-11-20; Просмотров: 252; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!