Решение. непрерывна справа в точке (рис

Пример.

5.5. Показать, что функция

непрерывна справа в точке (рис. 5.3).

Вычислим предел этой функции в точке справа: . Так как предел совпадает со значением функции в точке , то функция непрерывна справа в этой точке.

Однако в этой же точке функция не является непрерывной слева, так как .

Рис. 5.3. График функции к примеру 5.5

Замечание 5.4. По аналогии с существованием предела функции в точке, легко убедиться, что функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда она непрерывна в точке слева и справа, то есть

.

Определение 5.4. Говорят, что функция непрерывна на отрезке , если она непрерывна в каждой точке этого отрезка (здесь непрерывность в точках а и b определяется соответственно справа и слева).

Аналогично определяется непрерывность функции на полуинтервалах и .

Пусть функция задана на интервале , , .

Определение 5.5. Разность называется приращением аргумента в точке .

Разность называется приращением функции в точке .

Определение 5.6. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, то есть

.

Покажем, что определения 5.1 и 5.5 равносильны (рис. 5.4). Действительно, если , то . Из определения 5.1 получим:

.

Аналогично можно доказать обратное утверждение.

Рис. 5.4. Непрерывность функции в точке

Дата добавления: 2014-12-08