КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Принцип компактности
Ранее было доказано, что всякая сходящаяся последовательность ограничена, обратное утверждение не верно. Однако следующая теорема дает возможность из ограниченной последовательности выделить сходящуюся подпоследовательность. ТЕОРЕМА 3.16 (Больцано-Вейерштрасса). Всякая ограниченная последовательность содержит в себе сходящуюся подпоследовательность. Доказательство. Так как по условию последовательность ограничена, то существует отрезок такой, что все элементы содержатся в этом отрезке: . Разделим пополам: . Так как в последовательности бесконечно много элементов (которые отличаются друг от друга, по крайней мере, порядковым номером), то одна из половинок содержит бесконечное множество элементов последовательности . Эту половину обозначим и отметим в ней из некоторый элемент . Далее разделим пополам и выберем ту половину, которая содержит бесконечно много элементов . Обозначим её и отметим в ней элемент с номером . Продолжая этот процесс, получим последовательность вложенных отрезков . Причем при и при . По построению — подпоследовательность последовательности . Покажем, что эта подпоследовательность сходится. По принципу Кантора вложенных отрезков существует единственная точка такая, что . Таким образом, по теореме 3.6 доказано, что , то есть подпоследовательность сходится. Замечание 3.9. Теорему 3.16 часто называют принципом компактности. Следствие 3.3. Всякое бесконечное ограниченное числовое множество содержит в себе сходящуюся последовательность, все члены которой различны. Доказательство. Возьмём произвольное число . Множество бесконечно, поэтому можем выбрать . Продолжая этот процесс неограниченно, мы выделим из ограниченную последовательность (так как — ограничено) , все члены которой различны по построению.
Применяя теорему Больцано-Вейерштрасса, из последовательности выделим искомую сходящуюся подпоследовательность . Следствие 3.4. Из любой неограниченной последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность, которая имеет своим пределом бесконечность определённого знака. Доказательство. Пусть последовательность не ограничена сверху. Тогда существует номер такой, что . Очевидно, что последовательность также не ограничена сверху (из исходной последовательности она получена отбрасыванием конечного числа первых членов). Поэтому существует номер такой, что . Продолжая процесс таким же образом, получим последовательность таких номеров , что . Отсюда следует, что — подпоследовательность последовательности и по построению. Аналогично доказывается для неограниченной снизу и неограниченной последовательностей.
Дата добавления: 2014-12-08; Просмотров: 1875; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |