Сущность критерия устойчивости Михайлова

Лекция № 25.

Тема 2.3: «Критерий годографа Михайлова».

Критерий Михайлова относится к группе частотных критериев. Анализ устойчивости сводится к построению годографа в комплексной плоскости при изменении частоты от до . Годограф строится на базе характеристического уравнения замкнутой системы.

Анализ устойчивости осуществляется в следующем порядке:

1. Находят характеристическое уравнение замкнутой системы:

.

2. В характеристическом уравнении производят замену :

3. Из уравнения выделяют вещественную и мнимую части и , учитывая, что , , , ; , , и т.д., т.е. четные степени вещественны, а нечетные степени – мнимы.

4. Задаваясь определенными значениями частоты от 0 до , подсчитывается для каждого значения частоты и . Результаты подсчетов можно свести в таблицу:

					…	…	…	…
			…	…
			…	…

5. По данным таблицы на комплексной плоскости в координатах и наносят координаты точек в вещественной и мнимой части. Через полученные точки проводят плавную кривую, по виду которой судят об устойчивости системы.

Критерий устойчивости Михайлова формулируется:

Для того чтобы система порядка была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы вектор годографа Михайлова при изменении частоты от 0 до , начав свое движение с положительной вещественной полуоси, вращаясь против часовой стрелки и нигде не обращаясь в нуль, обходил последовательно квадрантов комплексной плоскости, т.е. повернувшись на угол, равный где степень характеристического уравнения.

2.2. Характеры годографа Михайлова для устойчивых, неустойчивых и "граничных" систем.

Система будет устойчива, если все условия критерия. При этом характер годографа зависит от степени характеристического уравнения.

Если хотя бы одно из условий не выполняется, то система будет неустойчивой. Если годограф проходит через нуль, то система будет на границе устойчивости.

Годографы Михайлова для устойчивых систем

Годографы Михайлова для систем на границе устойчивости

Годографы Михайлова для неустойчивых систем:

1 – АСР 4^го порядка – годограф непоследовательно через квадранты

2 – АСР 5^го порядка

3 – годограф начинается с

4 – годограф вращается по часовой стрелке

Дата добавления: 2014-12-08