II. Ряды

I.

РЯДЫ. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Высшая математика

Методические указания и контрольные задания

для студентов-заочников технических специальностей

Контрольная работа № 5

2004г

Числовые ряды.

Сходимость числового ряда

Пусть дана бесконечная последовательность чисел:

u ₁, u₂, u₃, u₄......... u_п,.....

составим из них новую последовательность:

S₁ = u₁, S₂ = u₁ + u₂, S₃ = u₁ + u₂ + u₃,

S₄ = u₁ + u₂ + u₃ + u₄........,

S_п = u₁ + u₂ + u₃ + u₄ +.......+.u_п.

Процесс ее составления обозначают выражением:

u₁ + u₂ + u₃ + u₄ +.......+. u_п +...... = u_п.

которое называется числовым рядом.

Числа u₁, u₂, u₃, u₄,........... называются членами ряда.

п- ый член u_п называются также общим членом ряда.

Числа S₁, S₂, S₃, S₄,........ S_п,.......называются частичными суммами ряда.

Ряд называется сходящимся, если последовательность частичных сумм имеет конечный предел: S_п = S.

Этот предел называется суммой ряда.

Запись: u₁ + u₂ + u₃ +.......+.u_п +... = S,

Означает, что ряд сходится и его сумма равна числу S.

Например, для ряда 0,9 + 0,09 + 0,009 + 0,0009 +...последовательность частичных сумм.

S₁ = 0,9, S₂ = 0,99, S₃ = 0,999, S₄ = 0,9999,.......

Имеет конечный предел S_п = 1, следовательно, ряд сходится и его сумма равна единице: 0,9 + 0,09 + 0,009 + 0,0009 +.... = 1.

Если последовательность частичных сумм не имеет предела или он бесконечен, то говоря, что ряд расходится.

Необходимое условие сходимости ряда.

В этом и следующих пунктах приведен ряд теорем, позволяющих устанавливать сходимость или расходимость ряда, не вычисляя предела последовательности частичных сумм.

ТЕОРЕМА. ( необходимое условие сходимости).

Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю ( u_п = 0).

Как следствие, получаем:

Если общий член не стремится к нулю, то ряд расходится.

Пример. Исследовать сходимость ряда (т.е. установить, сходится он или расходится)

2/1 + 3/2 + 4/3 + 5/4 +.....+ (п + 1)/п +....

Решение:

= (1 + ) = 1 ≠ 0

ряд расходится.

Признак Даламбера.

Пусть u₁ + u₂ + u₃ +.......+.u_п + u_{п +1}.......

знакоположительный ряд (все его члены положительны).

ТЕОРЕМА (признак Даламбера сходимости ряда)

Если (u_{п +1} / u_п) < 1 (> 1), то ряд сходится (расходится).

Пример.

Исследовать сходимость ряда: ½ + 2/4 + 3/8 +.....п/2^п + (п + 1) /2^п+1 +...

Решение: = = ( + ) = < 1

ряд сходится.

Гармонический ряд.

Дата добавления: 2014-12-08