Несобственные интегралы

Понятие несобственного интеграла является обобщением понятия определенного интеграла на случай, когда либо подынтегральная функция обращается в бесконечность, либо промежуток интегрирования бесконечен.

Пусть функция f(x) задана на [ ] и интегрируема на любом сегменте [ ] при > . Если предел интеграла

при существует, то его будем называть несобственным интегралом от функции f(x) в пределах от до и обозначать символом

Приведем достаточный признак существования несобственного интеграла- признак сравнения: если при x< и существует несобственный интеграл то существует также несобственный интеграл Поэтому существует предел интеграла при

Пример 6. Найти несобственный интеграл .

Решение. По определению

,

т.е. несобственный интеграл сходится к 1.

Пример. Покажем, что интеграл сходится при >0. Воспользуемся интегрированием по частям:

Первое слагаемое в правой части равенства имеет предел при x а интеграл

сходится на основании признака сравнения, так как и интеграл сходится. Следовательно, существует предел интеграла при x .

Пример 7. Вычислить несобственный интеграл .

Решение. По определению ([3], c.382)

,так как вычисленный

интеграл при стремится к пределу 2, то несобственный интеграл сходится.

Дата добавления: 2014-12-16