Немесе комбинаторика 1 страница

Т 36

«Дарын» республикалық ғылыми-практикалық орталығының оқу-әдістемелік кеңесінің ұсынысымен шығарылған.

Тердікбай Күшай. Олимпиадалық математика және ой дамыту VI-VІІІ. Оқу әдісемелік құрал. – Астана, 2012. 144 б.

ISBN 978-601-278-186-1

Оқу құралы оқушыларды орта білімнің алғашқы сатысынан бастап элементар математиканы зерттеп, ой өресін дамытып жетілдіруге арналған ең маңызды тақырытар мен сан түрлі есептер, оларды шешудің тиімді әдіс тәсілдерімен таныстыруға арналады. Сонымен қатар кітап мазмұнына олимпиадалар мен жарыстарға дайындалу, оларды ұйымдастырып өткізу, математикадан дарынды оқушыларды сұрыптау, оларға арналған қосымша курстар өткізу, математикалық мазмұнды көпшілік жұмыстар, қызықты ойындар ұйымдастыруға арналып сұрыпталған, кең ауқымды материалдар, есеп жаттығулар қамтылғаны математика және бастауыш сынып ұстаздары мен осы мамандықтар бойынша оқитын студенттер, өз ұрпағының ой өрісін дамытуды мұрат еткен ата-аналар, математиканы қызықтаушы көпшіліктің кәдесіне жарап, қажеттілігін өтеуге бұл оқу құралы өз септігін тигізері сөзсіз.

УДК 373.167.1

ББК 22.1 я 72

© «Дарын», 2012. ISBN 978-601-278-186-1 © Тердікбай К, 2012.

Алғы сөз

Адам білім, ғылым игеру, жасампаздық еңбек ету, күнделікті тіршілікте математикалық тәсілдерді қаншалықты керектене алса соншалықты нәтижеге жететіні сан ғасырлар бойы дәлелденген өмір шындығы. Сондықтан да «Математика ғылымы ғылымдардың патшасы» деп дәріптелген еді. Бүгінгі ғылым мен техниканы, компьютер мен ақпарат жетістігін, экономика мен нарық заңдылығын математикасыз елестету мүмкін емес. Олай болса жас өспірімдеріміздің математикалық ойлау қабілетін шыңдап, ой өрісін дамыту ісі қаншалықты маңызды екені түсінікті. Осы маңызды іске аз да болса үлес қосу мақсатында жазылған бұл кітапқа бастауыш сыныптағы математика сабағына қосымша құрал, сабақтан тысқары оқытулар мен көпшілік жұмыстарын ұйымдастыру, математика олимпиадаларына дайындау-ға қажетті, мейілінше ауқымды материалдар енгізу көзделіп, кішкентай оқырмандарды математикалық ойлаудың сан түрлі тәсілдерімен таныстырып, ақыл-ойын шыңдау мақсат етілді.

І бөлім: Элементар математиканың ең маңызды тақырыптары мен әдіс тәсілдерімен оқырмандарды таныстыруға арналады. Бөлімде «Мүмкіндіктер есебі немесе комбинаторика», «Дирихле принципі», «Бүтін санның бөлінгіштік қасиеттері», «Диофант теңдеулер шешу», «Мәтін есептер», «Үшбұрыштың тамаша нүктелері» тақырыптарының теориялық материалдары мен есеп шығарудың әдіс тәсілдері арнайы мысалдармен келтірілген.

ІІ бөлім: Олимпиада, жарыстар ұйымдастыруға арналған жаттығулардың жеткілікті санды нұсқалары, кей есептердің шешімін жасауға арналған әдістемелік нұсқаулар, жауаптарымен бірге берілген.

hhҚадірменді жас дос, алғыр ой, оң шешім, оңтайлы ұсыныс, тапқырлық пен ақылдылыққа өзіңді баулимын десең математикамен достас!

І бөлім

ЭЛЕМЕНТАР МАТЕМАТИКАНЫҢ МАҢЫЗДЫ ТАҚЫРЫПТАРЫ

1.1. МҮМКІНДІКТЕР ЕСЕБІ

Өмірдегі сан мыңдаған оқиғаларға математикалық тұрғыда қортынды жасауға арналған негізгі тәсілдердің біреуі мүмкіндіктерді санау немесе комбинаторика болып табылады. Жиынның элементтерінің санын, оларды реттеу санын табу, барлық мүмкін болмыстардың санын табу қажеттігі өмірде көптеп кездеседі. Осы мәселені оңтайлы шешуге бізге мүмкіндік санау тәсілдері немесе комбинаторика көмектеседі. Математикалық оқиғаларды көбінесе жиындармен жиындарға қолданылатын амалдар арқылы белгілеп, мүмкіндіктер санын «қосу» және «көбейту» ережесін қолданып есептеу комбинаториканың негізі болады дакомбинаторикалық мазмұнды есептерді шешу ісі көбінесе оны қандай бір жиынның элементтерінің санын, бұл элементтерді белгілі ретпен орналастыру мүмкіндігін немесе оның ішкі жиындарын санау арқылы шығарылатын болады.

Төменде комбинаторикалық бағыттағы әртүрлі есептерге мысалдар келтірілген. Бұл есептерді өз бетіңмен шығар.

1. а) Суретте неше кесінді кескінделген?

б) Суретте кескінделген үшбұрыштар санын тап.

2. 2 тиынды тастағанда әр түрлі неше тәсілмен түсуге болады?

3. 0; 1; 2; 3; 4; цифрлары арқылы қанша үш таңбалы сан жазуға болады? Бұлардың нешеуі 5 -ке бөлінеді? а) Цифр қайталанбайды. б) Цифр қайталанады.

4. 5х5 шахмет тақтасының сол жақ астыңғы көзіндегі бала жоғары немесе оң бағытқа бір аттап көшу арқылы оң жақ жоғарғы көзге неше әр түрлі маршрутпен жетуге болады?

5. Әр кесіндіде 4 нүкте болатындай етіп 10 нүкте және 5 кесіндіні орналастыр.

6. Дүние жүзіндегі барлық адамдардың ішінен таныстарының саны тақ адамдардың жұп болатынын дәлелде.

Енді комбинаторикалық есептерді шешудің негізгі тәсілдеріне тоқталсақ:

1. Қосу ережесі

Дербес жағдайдағы мүмкіндіктер санын есептеп, немесе ішкі жиынның элементтері мен оларды орналастыру сандарын есептеп өзара қосу және тізбе түрінде жазып өсу заңдылығын табу тәсілдері қолданылады. Бұл тәсілге жиындарға қолданылатын амалды пайдалансақ жиындардың бірігуінің элементерінің санын табуға арналған формуласын пайдаланамыз. Ал тізбекті пайдалансақ өзгеру заңдылығын, рекуренттік қатынасты байқау деген сияқты тәсілдер таңдауға тура келеді.

Мысал-1: 1-ден 100-ге дейінгі натурал сандардың ішінде 2 мен 3-тің кемінде біреуіне бөлінетін сан нешеу?

Шешуі: деп алсақ, 2 мен 3-тің кемінде біреуіне бөлінетін сандардың саны = 50 + 33 - 16 - ге тең болады. Мұндағы -2 мен 3-ке қатар бөлінетін сандар.

Мысал-2: 10 тор көзді жолақтың сол жақ шеткі көзіндегі тас оңға қарай 1 не 2 аттап көшу арқылы оң жақ шеткі көзге неше әр түрлі маршрутпен жетуге болады?

Шешуі: 2-ші көзге 1, 3-ші көзге 2 тәсілмен келе алады да 3- көзден бастап әр көзге оның алдындағы 2 көзден 1 не 2 аттап түсе алады. k-інші көзге келетін маршрут саны , рекурент формуласы бойынша есептеледі. Олай болса: ,

Жауабы: 89- әр түрлі маршрут

Мысал -3: Сыныптағы 25 оқушының 15-і математика 9-ы физика пәнінен факультетив сабаққа қатысады да 6-ы бұл екеуінің қай-қайсысына қатыспайды. Екі факультетивке қатар қатысатын және тек математикаға қатысатын оқушылар қанша?

Шешуі: А- математикаға, В- физикаға қатысатын оқушылар жиыны болса =25 – 6 =19 болғандықтан екі фалультетивке қатар қатысатындар саны = 15 + 9 – 19=5 болады да тек математикаға ғана қатысатындар 15 - 5=10 оқушы.

Мысал-4: Алдындағы келтірілген 1 б) мысалдағы үшбұрыштар санын табайық.

Шешуі: Үшбұрыштың табанының сол жақ төбесі астыңғы табан бойындағы түйін нүктелерінде болатын үшбұрыштар санын оң жағынан бастап санап қоссақ, сәйкес 1, 2, 3, 4, 5, 6 болады да қосындысы 21-ді 2 еселеп алсақ суреттегі барлық үшбұрыштардың санын береді.

Жауабы: 42 үшбұрыш.

Мысал-5:

нүктелер тізбегінің санын квадрат сандар, ал төменгі

тізбектерді сәйкесінше үшбұрыш сандар және бестік сандар деп алайық.

а) 7- ші квадрат, үшбұрыш, бестік сандарды тап.

б) Квадрат, үшбұрыш, бестік сандарының заңдылығын тауып әр қайсысының 10- шы, 50- ші сандарын тап.

Шешуі: Квадрат сандардың заңдылығы айқын. Үштік сандар 2-сінен бастап алдыңғысына сәйкес 2, 3, 4, деген сияқты тізбектелген бүтін сандармен қосылып отыратындықтан 7-шісі 1+2+3+4+5+6+7=28 n-інші сан 1+2+... + n = болады. Бестік сандар саны 1, 1+(1+3) = 2 + 3∙1, 5+(1+3+3) = 3+ (1+2)∙3...

яғни болады.

Мысал-6: А нүктесініен F-ке баратын әр түрлі неше маршрут бар?

Шешуі: В нүктесіне АВ және АDB 2 маршрутпен келуге болатындықтан B нүктесінің дәрежесі 2-ге, сол сияқты D-2, C-1, E-2 дәрежелі болады да F-ке маратын маршрут саны қосу ережесі бойынша 2+1+2=6 –ға тең болады.

2. Көбейту ережесі

Оқиға немесе жиынның әр элементінің мүмкігдігін есептеп барлық мүмкіндікті табу тәсілі көбейту ережесі арқылы жүзеге асырылады. Көбейту ережесін жиын арқылы анықтасақ n- элементтен тұратын А, m элементтен тұратын В жиындарының әр қайсысынан бір бір элемент алып құрастыруға болатын (а;в) парлар саны -ге тең. Осындай барлық мүмкін парлар жиынын А, В жиындарының Декараттық көбейтіндісі деп атап деп белгілейді.

Жоғарыдағы қортындыны қысқаша:

, болса деп жазамыз. Сол сияқты болатын k жиынның әр қайсы-сынан бір бір элемент алып құрастыруға болатын барлық k парлар саны - ға тең болады.

Мысал-1: 21 оқушысы бар сыныптың оқушыларын неше әр түрлі тәсілмен сапқа тұрғызуға болады?

Шешуі: 1- ші орынға 21- оқушының кез келгенін, 2- ші орынға 1- ші орынға тұрған оқушыдан басқа 20 оқушының кез келгенін, деген сияқты 21-інші орынға қалған 1 оқушыны таңдау арқылы 21- элементтен тұратын парлар таңдау керек болатындықтан сапқа тұрудың барлық мүмкіндігі .болады.

Мысал-2:

жиынтығынан солдан оңға қарай бағытпен «АСТАНА» сөзін әр түрлі неше тәсілмен оқуға болады?

Шешуі: С- әріптерінің әр қайсысына сол жақтағы А- дан баруға болатындықтан әр қайсысына 1, Т әрпінің әр қайсысына екі С- ның қайсысынан да баруға болатындықтан әр қайсысына 2 деген сияқты келуге болатын мүмкіндіктер бар болғандықтан барлық мүмкіндіктер саны Жауабы: Әртүрлі 36 тәсілмен оқылады.

Мысал-3: 6 лампа арқылы бөлмеге неше тәсілмен жарық беруге болады? (әр лампада жеке ажыратқыш бар,)

Шешуі: 6 лапаның әр қайсысында бөлмеге жарық беруге қатысудың «жану», «сөну» деген 2 мүмкіндігі болатындықтан есептің жауабы .

Мысал-4: 0, 1, 2, 3 цифрларын пайдаланып неше 5 таңбалы сан жазуға болады?

Шешуі: 5 таңбалы санның алдыңғы цифры 0-ден басқа 3 мән, басқа разриядтағы цифрлар берілген 4 цифрдың төртеуін де қабылдай алатындықтан бес таңбалы сан .

Мысал-5: Барлық үш таңбалы жұп сан нешеу?

Шешуі: Бұл есептегі оқиға «үщ таңбалы жұп сан жазу», оқиға элементтері -үш таңбалы санның цифрлары, жүздік орындағы цифрдың мүмкін мәндері 0-ден басқа 9 цифр, 10-дық орындыкі барлық 10 цифр, ал бірлік орындағы цифр жұп болатындықтан оның мүмкін мәндерінің саны 5 болатыны түсінікті. Сондықтан есептің жауабы .

Мысал-6: 10 оқушыдан 3 оқушыдан тұратын кезекшілер тобын неше әр түрлі тәсілмен таңдап алуға болады.

Шешуі: Оқиға үш элементі жиын таңдау. Бірінші кезекшіні 10, екіншісін 9 оқушыдан, үшіншіні 8 оқушыдан таңдаймыз. Көбейту ережесі бойынша барлық мүмкіндік саны . Бірақ бұл санға А, В, С үш оқушыдан тұратын кезекшілер тобы, таңдалу ретіне байланысты рет есептеліп тұрғанын ескерсек есептің жауабы 720:6 = 120.

Мысал-7: 4 түрлі гүлден 6 дана гүлден тұратын гүл шоғын неше әр түрлі тәсілмен жасай аламыз.

Шешуі: ●| ● ●| ● ● |● және |● ● ●| ●| ● ● схемаларына назар аударайық. Мұндағы ●- гүлді, |- гүлдердің түрін ажыатуға қолданылған белгі болмақ. Мәселен алғашқы схема І түрден 1, ІІ түрден 2, ІІІ түрден 2, ІҮ түрден 1 гүл кіретін (1+2+2+1=6) гүл шоғын кескіндесе, екінші схемада І түрлі гүл алынбаған, ІІ-ден 3, ІІІ-ден 1, ІҮ-ден 2 гүл кіретін (0+3+1+2 = 6) гүл шоғын айқындай алады. Бұдан, ееп 6+3=9 орынға 3 таяқшаны орналастыру мүмкіндіктерінің санын табуға келіп тірелді. Бұл сан болады.

Жаттығу есептер

Жаттығу есептерінің кей біреулеріне есептің жауаптары оның шығарылу жолын іздеп табуға нұсқау ретінде өрнектер арқылы берілгенін ескеру қажет.

1. Кубикті екі рет иіргенде түскен цифрларды ретімен жазғанда:

а) Әртүрлі мүмкіндіктер саны нешеу?

б) Түскен 2 цифрдің көбейтіндісі 10-ға бөлінетін мүмкіндік нешеу?

в) І- бағанға екі цифрдің қосындысының мүмкін мәндерін, ІІ- бағанға әр мәнді беретін мүмкіндіктер санын көрсеткен кесте құр.

2. 8х8 шахмат тақтасында бір ақ, бір қара көзден тұратын пар көзді: а) неше әр түрлі тәсілмен белгілеуге болады? б) Бұл екі көз бір баған немесе жол бойында болатын, в) Бір баған немесе жол бойында болмайтын мүмкіндіктер саны қанша?

Нұсқау: б) Ақ көзді таңдау мүмкіндігі 32. Таңдаған ақ көзбен бір баған немесе бір жол бойында болатын қара көз 4+4 = 8. Барлық мүмкіндік саны 32∙8 = 256

3. 48 санын а) екі натурал санның, б) үш натурал санның көбейтіндісіне әр түрлі неше тәсілмен қоюға болады.? (көбейткіштердің орыны ескерілмейді.)

4. Екі 0, үш 1 цифрын пайдаланып неше әр түрлі бес таңбалы рет номерін жазуға болады? (0-мен басталған санды есептеу керек.)

5. Екі 0, екі 1, екі 2 цифры арқылы неше әр түрлі код номерін жаза аламыз.

6. 1000- нан кіші.натурал сандардың ішінде

а) 2 және 3 -ке бөлінетін

б) 2- ге де 3-ке де бөлінбейтін сан нешеу?

7. 5 әр түрлі реңді ленталардан 3 көлденең жолақтан құралған жалауды неше әр түрлі тәсілмен жасауға болады?

Нұсқау: Әр түрлі үш реңнен жасалатын, және шеткі екеуі бірдей, ортаңғысы өзгеше болатын екі жағдайды қарастыр.

8. 350 бетті кітапты нөмірлегенде барлығы неше цифр жазылады?

9. Кітаптың беттерін нөмірлеуге 1308 цифр пайдаланылған болса кітап неше бетті?

10. 1, 2, 3, 4, цифрларының орнын алмастыру арқылы жазылатын 4 таңбалы сандардың санын және қосындысын есепте.

11. 10-шы есепті а) 1, 2, 2, 5 б) 1,3, 3, 3 в) 1, 1, 4, 4, цифрлары үшін шеш.

12. k- таңбалы санды m- таңбалы санмен көбейткенде неше таңбалы сан шығуы мүмкін? k=3, m = 4 кезінде есепті шешіп, оған негіздеп жалпы қортынды жаса.

13. а) санының б) (мұндағы -лер ( жай сандар, , натурал сандар) санының әр түрлі неше бөлгіші болады?

14. Тек 1, 2, 3, 4 цифрлары арқылы жазылатын миллионнан кіші натурал сан нешеу?

а) цифрлардың төртеуі де қамтылған болса,

б) Бәрі қамтылған болуы шарт емес.

15. 1-ден 100-ге дейінгі сандардан қосындысы 3-ке бөлінетін екі санды неше тәсілмен таңдап алуға болады? Нұсқау: 3-ке бөлгендегі қалдықтарының қосындысы 0 және 3-ке тең болатын пар сандар есептің шартын қанағаттандыратынына көз жеткіз.

Жауабы: (33∙33 – 33)÷2+33+33∙34

16. 200 теңгені 10 -дық, 20-лық, 50-лік тиындар арқылы неше әр түрлі тәсілмен майдалауға болады?

Жауабы: 29

17. 0001- ден 9999- ға дейінгі сандардың ішінде алғашқы екі цифрының қосындысы соңғы екі цифрының қосындысына тең болатын сан нешеу?

Нұсқау: Екі цифрдың қосындысы 1- ден 18- ге дейінгі мәндерді қабылдауға болады. Бұл қосынды 5-ке тең болатын жағдайды алып көрсек:

деген 6 мүмкіндік бар. Бұлардың кез келген 2 пары есептің шартын қанағаттандыратындықтан барлық мүмкіндік 6х6=36 Цифрларының қосындысы 7-ге тең болатын 2 таңбалы сандар 07, 16, 25, 34, 43, 52, 61, 70 деген 8 сан, цифрының қосындысы 15 ке тең екі таңбалы сан 69, 78, 87,96 деген 4 сан, 18-ге тең 99 деген 1 ғана сан болатынын ескер.

Жауабы: 66 9

18. Шахмат тақтасына 8 арбаны бірін бірі жемейтіндей әр түрлі неше тәсімен орналастыруға болады?

19. а) Әр түрлі 8 кітапты сөреге неше тәсілмен орналастыруға болады.? б) Белгіленген 2 кітап қатар тұрмайтындай неше тәсілмен орналастыруға болады?

Жауабы: 6 !

20. « Математика» сөзінің әріптерінің орнын ауыстыру арқылы неше әр түрлі сөз құрастыруға болады?

21. 5 түрлі гүлден 8 гүлден тұратын гүл шоғын неше әр түрлі тәсілмен жасауға болады?

22. Бірдей 2 кубикті қатар иіргенде неше әр түрлі мүмкіндікпен түсуге болады?

Нұсқау: Көбейту ережесі бойынша 6·6=36. Бірақта қатар тастағанда деген екі жағдай біреу болып есептелінеді. Жауабы: 21

23. Автобусқа m жүргінші мінген. Автобус жолда n аялдамаға тоқтайтын болса:

а) адамдар түсудің әр түрлі неше мүмкіндігі болады?

б) Тек әр аялдамаға түскен адамдардың саны ғана ескерілсе мүмкіндік саны нешеу болады?

І. m=30, n=12 болғанда есепті шеш.

ІІ. жалпы түрде қорытынды жаса.

Нұсқау: І. б) 30 адамнан і- ші аялдамаға түсетін адам санын десек, мүмкіндік саны теңдеуінің теріс емес бүтін шешімдерінің санына тең болады.Бұл есепті «12 түрлі гүлден 30 дана гүлден тұратын гүл шоғын неше әр түрлі тәсілмен жасауға болады?» деген есепке келтіруге болатындықтан «Мысал-5»-ке керектенген тәсілді қолдануға болады.

ІІ. а) Кім қай аялдамаға түсетінін ескеріп барлық мүмкіндікті есептеу керек болатындықтан, m жүргіншінің әр қайсысында n аялдаманың қайсысына да түсуге бола-тын әр түрлі n мүмкіндік бар екенін ескеріп көбейту ережесін қолдан.

24. 10 алма, 8 алмұрт, 6 өрікті, 4 балаға әр түрлі неше тәсілмен үлестіріп беруге болады?

Нұсқау жауап:

25. 48 санын 4 натурал санның көбейтіндісіне неше тәсілмен жазуға болады.

Нұсқау жауап:

26. Кітап сөресіндегі 12 кітаптан үшеуін қайсы екеуі де қатар тұрмаған етіп неше тәсілмен таңдауға болады?

Жауабы: 120

27. Әр түрлі 6 жәшікке бірдей 4 ақ, бірдей 3 қара барлығы 7 допты неше тәсілмен салуға болады?

Нұсқау жауап:

28. Бірдей 20 допты әр түрлі 5 жәшікке жәшік сайын кемінде 2 доп салынған етіп неше тәсілмен орналастыруға болады?

Нұсқау: Есептің шартын қанағаттандыратын етіп әр жәшікке 2 доп салып қалған 10 допты 5 әр түрлі жәшікке неше тәсілмен орналастыруға болатынын тауып, мысал-5-те керектенілген тәсілді қолдану керек.

Жауабы:

Дата добавления: 2014-12-16