КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Матрицы. Действия над матрицами. Решение матричных уравнений
1) Над матрицами и выполнить действия 2) Какими характеристиками должны обладать матрицы, чтобы их можно было перемножить? Сформулируйте правило умножения матриц. Выполните умножение матриц: , , Ответы: , , 3) Какими свойствами обладает операция умножения матриц: коммутативность, ассоциативность, дистрибутивнось? Применяя нужные свойства, выполните умножение матриц: Ответ: 4) Выполнить операцию возведения в степень Ответ:
Занятие 16. Обратная матрица. Системы линейных уравнений: метод обратной матрицы, метод Крамера 1) Дайте определение обратной матрицы и условия ее существования. Для указанных матриц проверьте выполнение условий существования обратной матрицы и, если обратная матрица существует, то найдите: , ,
Ответы: ,
2. Системы линейных уравнений
Каждую систему линейных уравнений решите тремя способами: · Методом обратной матрицы · Методом Крамера
, Занятие 17. Системы линейных уравнений: метод Гаусса, ранг матрицы, теорема Кронекера-Капелли
1. Каждую систему линейных уравнений решите методом Гаусса:
2. Дайте определение понятия ранг матрицы. Найдите ранг матрицы методом элементарных преобразований: а) , б) , в) , д)
3. Для каждой из указанных ниже систем · методом элементарных преобразований определите ранг матрицы системы и ранг расширенной матрицы, · на основании теоремы Кронекера-Капелли сделайте вывод о совместности системы (определите число решений системы), · найдите решения системы, при этом, если решений множество, то укажите число базисных и свободных переменных
,
,
Ответы: не имеет решений, множество решений, .
Занятие 18. Векторы: линейные операции
1. По заданной паре векторов , найти декартовы координаты векторов , их длину и соответствующие единичные векторы (орты), укажите направляющие косинусы.
2. При каких значениях параметров векторы , коллинеарны?
3. Даны смежные вершины параллелограмма и точка пересечения его диагоналей . Найдите координаты двух других вершин и длины сторон. Ответ: 4. По координатам середин сторон треугольника найдите координаты его вершин и длины сторон. Ответ: 5. Координаты вершин треугольника , , . Найти длину медианы, проведенной из вершины .
6. В трапеции отношение длин оснований , векторы диагоналей , . Выразить через векторы векторы сторон трапеции. Ответ: и т.д.
7. Найти координаты вектора относительно косоугольного базиса , , . Чему равны углы между векторами базиса?
8. Найти координаты вектора относительно косоугольного базиса , . Ответ:
Занятия 19. Скалярное произведение векторов 9. При каких значениях векторы и ортогональны?
10. Найти угол при вершине в треугольнике с вершинами , , . Ответ:
11. Векторы образуют ортонормированный базис. Найти , если известны и .
12. Найдите длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах , если , . Ответ: 13. Найдите проекцию , если . Ответ:
Занятия 20. Векторное и смешанное произведения векторов 14. Найдите площадь параллелограмма, диагоналями которого служат векторы , где - единичные векторы под углом 45 градусов. Ответ:
15. Найти , если . Ответ:
16. Координаты вершин треугольника , , . Найти площадь треугольника и длину его высоты, опущенной из вершины .
17. В точке приложена равнодействующая сил . Найдите вектор момента равнодействующей этих сил относительно точки . Ответ: 18. Определить, лежат ли точки в одной плоскости?
19. Найдите объем тетраэдра с вершинами . Ответ:
20. При каких значениях параметра векторы компланарны? 21. Координаты вершин тетраэдра , , , а его объем равен 5. Найти значение неизвестной координаты. Занятие 21. Прямая и плоскость в пространстве 1. Указать особенности в расположении плоскостей и схематично их построить:
а) 3Х–Z=0; б) 2Х=0; с) 2Х–6=0; д) Х–2У=0; е) Х–2У–2=0;
ж) 2Х+Z–2=0; з) 2Х+3У+2Z–6=0;
2. Составьте уравнение плоскости, проходящей через:
а) М(1; -1; 2) параллельно плоскости ОХУ; б) М(4; -1; 2) и ось ОХ; в) М1(7; 2; -3); М2(5; 6; -4) параллельно ОХ; г) М1(1; -1; 2); М2(3; 0; -3) параллельно ; д) М1(1; -3; 2); М2(5; 1; -4); С(2; 0; 3) Найдите расстояние от М0(1; 0; -2) до найденной плоскости е) М0(-2; 7; 3) параллельно плоскости Х–4У+5Z–1=0 ж) М0(3; 4; 0) перпендикулярно плоскостям Х+У+5Z–9=0; 2Х+У+2Z+1=0 3. Найти углы, образованные нормалью с координатными осями и найти расстояние плоскости от начала координат: а) ; б) ;
4. Покажите, что плоскости параллельны и найдите расстояние между ними: 2Х–3У+6Z–14=0 4Х–6У+12Z+21=0;
5. Найдите угол между плоскостями: Х–3У+6Z–14=0 2Х–У+Z=0.
6. Напишите уравнение прямой, проходящей: а) М1(2; 1; 3); М2(3; 0; 1); б) М0(3; 1; 0) çç ; в) М0(3; 1; 0) ^ плоскости 4Х+3У–Z=0;
7. Найдите точку М¢(Х; У; Z), симметричную М(1; 5; 2) относительно плоскости 2Х–У–Z+11=0
8. Запишите канонические и параметрические уравнения прямой:
Занятие 22. Прямая линия на плоскости 1. Написать уравнения прямой линии на плоскости: в) проходящей через произвольную точку перпендикулярно прямой ; г) пересекающей координатные оси в точках .
д) проходящей через начало координат и точку пересечения прямых .
2. В треугольнике с вершинами напишите уравнения сторон, высоты и медианы
3. По координатам смежных вершин и точки пересечения диагоналей напишите уравнения сторон параллелограмма
4. Найдите точку, симметричную точке относительно прямой . Ответ:
5.Перепишите уравнение прямой линии в нормальном виде. Найдите направляющие косинусы нормали к прямой и расстояние от начала координат до прямой.
6.Покажите, что прямые линии параллельны и найдите расстояние между ними. Ответ: 3
Занятие 23. Кривые второго порядка
1. Уравнение описывает окружность радиуса 5 с центром в точке . Определить все коэффициенты этого уравнения. 2. Постройте кривые и укажите их основные характеристики
; ;
3. Установите, какие линии определяются уравнениями и схематично постройте эти линии: ü ü ü ü ü 4. Составьте уравнение окружности, которая имеет центр на прямой и касается прямых . Ответ:
Занятие 24. Контрольная работа «Векторная алгебра и аналитическая геометрия». Работа состоит из 5 задач: 1.Действия над матрицами (умножение, обратная матрица), решение систем алгебраических уравнений (методы Крамера, Гаусса, матричный метод) 2. Длина вектора. Координаты вектора. Линейные операции над векторами. Скалярное произведение. 3.Векторное и смешанное произведения векторов 4. Прямая линия на плоскости. Кривые второго порядка 5.Прямая линия и плоскость в пространстве Занятие 25. Частные производные первого порядка. Градиент. Производная по направлению. 1. Найдите и схематично постройте область определения функции, дайте её характеристику (связность, замкнутость, ограниченность): а) б) в) г) д)
2. Найдите уравнение линии уровня (или поверхности уровня) для указанных функций, проходящих через заданные точки. Постройте линию уровня на чертеже вместе с областью определения: а) б) г) при условии 3. Для указанных функций найти частные производные первого порядка; Записать полный дифференциал первого порядка. а) б) в) г) д) е) ж) з) и) к)
4. Найдите производную указанной функции по данному направлению в точке М0: а) если б) по направлению
5. Найдите градиент функции в указанной точке:
а) б) в)
6. Найти нормаль к поверхности и написать уравнение касательной плоскости для указанной функции, в указанной точке:
а) в точках пересечения с прямой Х=У=2; б)
Занятие 26. Локальные экстремумы функции двух переменных 1. Исследуйте функцию на локальный экстремум:
2. Исследуйте функцию на условный экстремум:
Z=6–5X–4У; j(Х,У)=Х2-У2–9=0; L=6–5Х–4У+l(Х2-У2–9)
3. Найдите наименьшее m и наибольшее М значения функции в замкнутой ограниченной области:
Ответы: Задача 1: а) (-2;0) – минимум; б) (4;4); (-4;-4) – минимумы; в) г) (1;-1;3) – минимум.
Задача 2.( 5;-4); – max (-5;4); –min .
Задача 3. M=6; m=-1;
Дата добавления: 2014-12-16; Просмотров: 1150; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |