Основные теоремы дифференциального исчисления

Дифференциал функции в точке

Определение: Дифференциалом функции в точке х₀ называется главная линейная часть приращения этой функции, зависящая линейно от приращения .

Дифференциал функции равен . Дифференциал функции отличается от приращения функции на бесконечно малую более высокого порядка по сравнению с величиной , поэтому это обстоятельство используют для приближенных вычислений откуда .

Теорема Ролля: Если функция

1) непрерывна на отрезке ,

2) дифференцируема внутри этого отрезка,

3) имеет равные значения на концах отрезка, т. е. , то существует хотя бы одна точка x = c (a < c < b) такая, что .

Теорема Лагранжа: Если функция

1) непрерывна на отрезке ,

2) дифференцируема на (а, в), то существует хотя бы одна точка x = c (a < c < b), для которой выполняется равенство: .

Теорема Коши: Если две функции и

1) непрерывны на отрезке ,

2) дифференцируемы на (а, в), причем , то найдется такая точка x=c (a<c<b), для которой выполняется равенство .

Если и или и , то при вычислении предела отношения этих функций будем получать неопределенности вида , . Для раскрытия этих неопределенностей используют правило Лопиталя. Если функции и удовлетворяют условиям теоремы Коши, в окрестности точки существует , то существует и предел , и эти пределы равны = .

Дата добавления: 2014-12-16