Перпендикуляр и наклонная

Теоремы о перпендикулярных прямых и плоскостях.

1. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

2. Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны.

3. Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой.

4. Если две плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.

Теорема. Если из одной точки вне плоскости проведены перпендикуляр и наклонные, то:

1) наклонные, имеющие равные проекции, равны;

2) из двух наклонных больше та, проекция которой больше;

3) равные наклонные имеют равные проекции;

4) из двух проекций больше та, которая соответствует большей наклонной.

Теорема о трех перпендикулярах. Для того чтобы прямая, лежащая в плоскости, была перпендикулярна наклонной, необходимо и достаточно, чтобы эта прямая была перпендикулярна проекции наклонной (рис.3).

Теорема о площади ортогональной проекции многоугольника на плоскость. Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению площади многоугольника на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Рис. 3

Пример 1. Через данную точку провести прямую, параллельную данной плоскости.

Решение. Анализ. Предположим, что прямая построена (рис. 4). Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в плоскости (по признаку параллельности прямой и плоскости). Две параллельные прямые лежат в одной плоскости. Значит, построив плоскость, проходящую через данную точку и произвольную прямую в данной плоскости, можно будет построить параллельную прямую.

Рис. 4

Построение.

1. На плоскости a проводим прямую а.

2. Прямая а и точка А задают плоскость. Построим плоскость b.

3. В плоскости b через точку А проведем прямую b, параллельную прямой а.

4. Построена прямая b параллельная плоскости a.

Доказательство. По признаку параллельности прямой и плоскости прямая b параллельна плоскости a, так как она параллельна прямой а, принадлежащей плоскости a.

Исследование. Задача имеет бесконечное множество решений, так как прямая а в плоскости a выбирается произвольно.

Пример 2. Определите, на каком расстоянии от плоскости находится точка А, если прямая АВ пересекает плоскость под углом 45º, расстояние от точки А до точки В, принадлежащей плоскости, равно см?

Решение. Сделаем рисунок (рис. 5):

Рис. 5

АС – перпендикуляр к плоскости a, АВ – наклонная, угол АВС – угол между прямой АВ и плоскостью a. Треугольник АВС – прямоугольный так как АС – перпендикуляр. Искомое расстояние от точки А до плоскости – это катет АС прямоугольного треугольника. Зная угол и гипотенузу см найдем катет АС:

Ответ: 3 см.

Пример 3. Определите, на каком расстоянии от плоскости равнобедренного треугольника находится точка, удаленная от каждой из вершин треугольника на 13 см, если основание и высота треугольника равны по 8 см?

Решение. Сделаем рисунок (рис. 6). Точка S удалена от точек А, В и С на одинаковое расстояние. Значит, наклонные SA, SB и SC равные, SO – общий перпендикуляр этих наклонных. По теореме о наклонных и проекциях АО = ВО = СО.

Точка О – центр окружности описанной около треугольника АВС. Найдем ее радиус:

Рис. 6

где ВС – основание;

AD – высота данного равнобедренного треугольника.

Находим стороны треугольника АВС из прямоугольного треугольника ABD по теореме Пифагора:

Теперь находим ОВ:

Рассмотрим треугольник SOB: SB = 13 см, ОВ = = 5 см. Находим длину перпендикуляра SO по теореме Пифагора:

Ответ: 12 см.

Пример 4. Даны параллельные плоскости a и b. Через точку М, не принадлежащую ни одной из них, проведены прямые а и b, которые пересекают a в точках А ₁ и В ₁, а плоскость b – в точках А ₂ и В ₂. Найти А ₁ В ₁, если известно, что МА ₁ = 8 см, А ₁ А ₂ = 12 см, А ₂ В ₂ = 25 см.

Решение. Так как в условии не сказано, как расположена относительно обеих плоскостей точка М, то возможны два варианта: (рис. 7, а) и (рис. 7, б). Рассмотрим каждый из них. Две пересекающиеся прямые а и b задают плоскость. Эта плоскость пересекает две параллельные плоскости a и b по параллельным прямым А ₁ В ₁ и А ₂ В ₂ согласно теореме 5 о параллельных прямых и параллельных плоскостях.

Рис. 7

Треугольники МА ₁ В ₁ и МА ₂ В ₂ подобны (углы А ₂ МВ ₂ и А ₁ МВ ₁ – вертикальные, углы МА ₁ В ₁ и МА ₂ В ₂ – внутренние накрест лежащие при параллельных прямых А ₁ В ₁ и А ₂ В ₂ и секущей А ₁ А ₂). Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

Отсюда

Вариант а):

Вариант б):

Ответ: 10 см и 50 см.

Пример 5. Через точку А плоскости g проведена прямая АВ, образующая с плоскостью угол a. Через прямую АВ проведена плоскость r, образующая с плоскостью g угол b. Найти угол между проекцией прямой АВ на плоскость g и плоскостью r.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 8). Из точки В опустим перпендикуляр на плоскость g. Линейный угол двугранного угла между плоскостями g и r – это угол Прямая AD перпендикулярна плоскости треугольника DBC, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, так как и По признаку перпендикулярности плоскостей плоскость r перпендикулярна плоскости треугольника DBC, так как она проходит через прямую AD. Искомый угол построим, опустив перпендикуляр из точки С на плоскость r, обозначим его Найдем синус этого угла прямоугольного треугольника САМ. Введем вспомогательный отрезок а = ВС. Из треугольника АВС: Из треугольника ВМС найдем

Тогда искомый угол

Рис. 8

Ответ:

Задания для самостоятельного решения

Дата добавления: 2014-12-16