Контроль знаний

ТЕКУЩИЙ КОНТРОЛЬ ЗНАНИЙ

Вопросы для текущего контроля

Модуль 1 «Теория вероятностей»

Тема: «Основные понятия, определения и теоремы теории вероятностей»

1. Понятие комбинаторики. Виды комбинаций и способы их расчета (размещения, сочетания, перестановки).

2. Понятия испытания и события.

3. Классическое определение вероятности, свойства вероятности.

4. Совместные и несовместные, зависимые и независимые события. Сумма и произведение событий.

5. Методика использования и сфера применения теорем сложения и умножения вероятностей.

6. Независимость и зависимость событий в совокупности. Вероятность наступления хотя бы одного из n независимых (зависимых) в совокупности событий.

7. Формулы полной вероятности и Байеса для расчета вероятностей событий.

Тема: «Случайные величины и законы их распределения»

1. Понятие дискретной и непрерывной случайных величин.

2. Способы задания закона распределения случайной величины: табличный, аналитический и графический. Функция распределения вероятностей дискретной случайной величины.

3. Независимость случайных величин и математические операции над случайными величинами.

4. Понятия, формулы расчета и свойства математического ожидания и дисперсии дискретной случайной величины. Среднее квадратическое отклонение.

5. Моменты распределения.

6. Схема повторных испытаний. Формула Бернулли и биномиальный закон распределения. Числовые характеристики и график биномиального распределения. Наивероятнейшее число появления событий. Математическое ожидание и дисперсия частоты и частости.

7. Распределение Пуассона, его отличительные черты.

8. Гипергеометрический закон распределения.

9. Мультиномиальное и геометрическое распределения.

10. Производящая функция.

11. Определение непрерывной случайной величины. Способы задания закона распределения непрерывной случайной величины. Функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины (интегральная функция), ее свойства и график.

12. Плотность распределения (дифференциальная функция). Связь дифференциальной и интегральной функций.

13. Формулы расчета математического ожидания и дисперсии непрерывной случайной величины.

14. Моменты. Асимметрия и эксцесс. Квантиль. Мода и медиана.

15. Нормальное распределение. Значение нормального закона распределения в статистических исследованиях. Основные теоремы нормального закона распределения.

16. Функции стандартного (нормированного) нормального распределения.

17. Алгоритмы использования таблиц значений функций нормального закона распределения для определения значений функций нормального распределения с любыми параметрами.

18. Алгоритм аппроксимации дискретных распределений нормальным законом.

19. Формулы расчета вероятности заданного отклонения частоты от своего математического ожидания, вероятности заданного отклонения частости от вероятности.

20. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.

21. Особенности показательного и равномерного распределений.

Тема: «Закон больших чисел»

1. Понятие о законе больших чисел в узком и широком смысле.

2. Использование неравенств Маркова и Чебышева, теорем Чебышева, Бернулли и Пуассона для оценки вероятности отклонения случайной величины от своего математического ожидания, средней арифметической случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий, частоты от своего математического ожидания, частости от вероятности.

3. ”Центральная предельная теорема” Ляпунова.

Модуль 2 «Математическая статистика»

Тема «Вариационный ряд и его числовые характеристики»

1. Первичная статистическая обработка результатов наблюдений.

2. Понятия и способы построения дискретного и интервального вариационных рядов.

3. Расчет частот и частостей, накопленных частот и накопленных частостей.

4. Понятие плотности распределения

5. Графическое представление вариационного ряда (полигон, гистограмма, кумулята, огива).

6. Определение средней. Виды средних величин, формулы расчета средней арифметической, моды, медианы.

7. Понятие вариации. Формулы расчета вариационного размаха, среднего линейного отклонения, дисперсии, среднего квадратического отклонения, коэффициента вариации.

8. Частные средние. Разложение дисперсии на части. Расчет частных дисперсий, средней из частных дисперсий, межгрупповой дисперсии. Правило сложения дисперсий.

9. Понятие о моментах распределения. Расчет коэффициентов асимметрии и эксцесса.

10. Задание эмпирической функции, ее график.

11. Альтернативные признаки. Формула расчета дисперсии альтернативного признака.

Тема: «Выборочный метод и его значение в экономических исследованиях»

1. Понятия выборочного метода, генеральная и выборочная совокупности.

2. Способы отбора единиц генеральной совокупности в выборку: собственно-случайный (повторный и бесповторный), механический, типический, серийный.

3. Виды ошибок наблюдения: ошибки регистрации и репрезентативности (систематические и случайные).

4. Сущность теории оценивания. Точечные оценки параметров генеральной совокупности по выборочным данным. Требования, предъявляемые к статистическим оценкам.

5. Механизм интервального оценивания параметров генеральной совокупности по выборочным данным. Параметры интервального оценивания. Вероятностный смысл статистических оценок.

6. Формулы расчета предельной и средней ошибок выборки при оценке генеральных средней и доли для различных способов отбора.

7. Формулы расчета необходимой численности выборки. Понятия о малой выборке и распределении Стьюдента.

Тема: «Статистическая проверка гипотезы»

1. Особенности законов распределения Стьюдента, хи-квадрат, Фишера, сфера их применения в математической статистике.

2. Понятие статистических гипотезы, их виды

3. Ошибки I и II рода. Понятие об уровне значимости. Виды критических областей.

4. Виды параметрических и непараметрических гипотезы.

5. Алгоритм проверки статистических гипотезы.

6. Проверка гипотезы о виде закона распределения. Критерий согласия Пирсона.

7. Проверка гипотезы о равенстве двух дисперсий нормально распределенных генеральных совокупностей. Проверка гипотезы о числовом значении дисперсии генеральной совокупности.

8. Проверка гипотезы о числовом значении генеральной средней нормально распределенной совокупности при известной и неизвестной генеральных дисперсиях. Проверка гипотезы о равенстве двух средних нормально распределенных совокупностей при неизвестных генеральных дисперсиях. Проверка гипотезы о равенстве двух средних нормально распределенных совокупностей с известными дисперсиями.

9. Проверка гипотезы о числовом значении генеральной доли. Проверка гипотезы о равенстве долей двух нормально распределенных генеральных совокупностей.

10. Модели дисперсионного анализа при одном или нескольких факторах. Сравнение нескольких средних при помощи однофакторного дисперсионного анализа.

ИТОГОВЫЙ КОНТРОЛЬ ЗНАНИЙ

Вопросы для подготовки к экзамену

Модуль 1. Теория вероятностей

1. Предмет и основные определения теории вероятностей.

2. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности, вытекающие из классического определения. Примеры.

3. Статистическое определение вероятности, его особенности и связь с классическим определением.

4. Полная группа несовместных событий, противоположные события, свойства их вероятностей.

5. Зависимые и независимые события. Условные и безусловные вероятности.

6. Теоремы умножения вероятностей.

7. Теоремы сложения вероятностей.

8. Формула полной вероятности. Формулы Байеса.

9. Комбинаторика: размещение, сочетания, перестановки и перестановки с повторениями.

10. Дискретные и непрерывные случайные величины. Закон распределения случайной величины и способы его задания.

11. Формула Бернулли. Биномиальное распределение. Наивероятнейшее число наступления событий.

12. Формула Пуассона. Закон распределения редких событий.

13. Числовые характеристики случайных величин. Начальные и центральные моменты. Асимметрия и эксцесс.

14. Математическое ожидание случайной величины. Его смысл и примеры.

15. Свойства математического ожидания.

16. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины. Их смысл и примеры вычисления.

17. Свойства дисперсии и среднего квадратического отклонения.

18. Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение частоты и частости.

19. Непрерывные случайные величины. Дифференциальная и интегральная функции их распределения, их смысл и связь между ними.

20. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал. Вероятность того что непрерывная случайная величина примет точное наперед заданное значение.

21. Равномерный закон распределения.

22. Нормальное распределение. Плотность нормального распределения и ее свойства.

23. Нормированное (стандартное) нормальное распределение. Функция Лапласа: график, свойства, таблицы.

24. Функция нормального распределения случайной величины.

25. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал.

26. Вероятность заданного отклонения нормальной случайной величины от своего математического ожидания. Правило трех сигм.

27. Понятие о центральной предельной теореме Ляпунова.

28. Закон больших чисел. Понятие о теореме Чебышева. Значение теоремы Чебышева.

29. Закон больших чисел. Теорема Бернулли.

30. Вероятность отклонения частости от вероятности, частоты от наивероятнейшего числа.

Модуль 2. Математическая статистика

31. Предмет и основные задачи математической статистики.

32. Генеральная совокупность и выборка. Сущность выборочного метода.

33. Вариационные ряды. Виды вариаций. Величина интервала. Накопленные частоты (частости).

34. Графическое изображение вариационного ряда. Эмпирическая функция распределения.

35. Числовые характеристики вариационного ряда. Средняя арифметическая и ее свойства, мода и медиана. Квантили.

36. Показатели колеблемости: вариационный размах, среднее линейное отклонение, дисперсия, коэффициент вариации. Свойства дисперсии.

37. Моменты (начальные и центральные). Показатели асимметрии и эксцесса.

38. Дисперсия альтернативного признака.

39. Повторная и бесповторная выборка. Ошибки регистрации и репрезентативности, предельная ошибка выборки.

40. Средняя ошибка выборки, для средней и для доли.

41. Необходимая численность выборки.

42. Статистические оценки параметров распределения (сущность теории оценивания): несмещенность, состоятельность, эффективность оценок.

43. Точечная оценка генеральной средней по выборочной средней.

44. Точечная оценка генеральной дисперсии. “Исправленные” выборочная дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

45. Интервальные оценки. Точность оценки. Доверительная вероятность.

46. Методы оценивания параметров распределения: метод моментов и метод максимального правдоподобия, свойства полученных этим методом оценок.

47. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при известном среднем квадратическом отклонении.

48. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном среднем квадратическом отклонении.

49. Оценка вероятности по частости: точечная и интервальная.

50. Законы распределения Стьюдента, Пирсона, Фишера.

51. Статистическая проверка гипотезы. Статистическая гипотеза: нулевая и альтернативная, параметрическая и непараметрическая. Ошибки I и II рода.

52. Статистический критерий проверки нулевой гипотезы. Наблюдаемое значение критерия. Критическая область. Область принятия гипотезы. Критические точки. Отыскание правосторонней, левосторонней, двусторонней критических областей. Понятие мощности критерия.

53. Проверка гипотезы о нормальном распределении. Критерий согласия Пирсона.

54. Проверка гипотезы о числовом значении дисперсии генеральной совокупности. Проверка гипотезы о равенстве двух дисперсий нормально распределенных генеральных совокупностей.

55. Проверка гипотезы о равенстве двух средних нормально распределенных генеральных совокупностей с известными дисперсиями.

56. Проверка гипотезы о числовом значении генеральной средней нормально распределенной генеральной совокупности при известной и неизвестной генеральных дисперсиях.

57. Проверка гипотезы о равенстве двух средних нормально распределенных генеральных совокупностей при неизвестных равных дисперсиях.

58. Проверка гипотезы о числовом значении генеральной доли (о параметре биномиального закона распределения). Проверка гипотезы о равенстве двух долей нормально распределенных генеральных совокупностей.

59. Построение теоретического закона распределения по данному вариационному ряду.

60. Сравнение нескольких средних при помощи однофакторного дисперсионного анализа.

Регламент проведения оценочного мероприятия
Промежуточная аттестация проводится в письменном виде
Предел длительности всего контроля	2 часа
Предлагаемое количество тестовых заданий обучающемуся Задачи

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Ростовский государственный экономический университет (РИНХ)»

(ФГБОУ ВПО «РГЭУ (РИНХ)»)

Учетно-экономический факультет

Кафедра математической статистики, эконометрики и актуарных расчетов

Дисциплина "Теория вероятностей и математическая статистика"

Зачетное задание №1

1. Размещения - это

А) соединения из n элементов по m в каждом, каждое из которых содержит m элементов, взятых из числа данных n элементов, и которое отличаются друг от друга порядком расположения элементов;

Б) соединения из n элементов по m в каждом, каждое из которых содержит m элементов, взятых из числа данных n элементов, и которое отличаются друг от другу либо самими элементами (хотя бы одним), либо порядком их расположения;

В) соединения из n элементов по m в каждом, каждое из которых содержит m элементов, взятых из числа данных n элементов, и которое отличаются друг от другу по крайне мере одним элементом;

Г) соединения из n элементов, каждое из которых содержит все элементы, и которые отличаются друг от друга лишь порядком расположения элементов.

2. Вероятность извлечения дамы или туза из колоды в 52 карты равна:

А) ;	В) ;
Б) ;	Г).

3. Статистической вероятностью события А называется:

А) относительная частота (частость) этого события, вычисленная по результатам большого числа испытаний;

Б) частота этого события, вычисленная по результатам испытаний;

В) частота этого события, вычисленная по результатам большого числа испытаний;

Г) относительная частота (частость) этого события, вычисленная по результатам небольшого числа испытаний.

4.Формула полной вероятности может быть записана как:

А)	В)
Б)	Г)

5. Случайные величины бывают

А) дискретными;

Б) непрерывными;

В) условными;

Г) дискретными и непрерывными.

6. Формула Бернулли записывается как:

А) ;

Б) ;

В) ;

Г) .

7. Дисперсия СВ, распределенной по гипергеометрическом закону определяется как:

А) ;	В) ;
Б) ;	Г) .

8. Согласно свойствам функции распределения F(x) данная функция:

А) неотрицательная и неубывающая;	В) отрицательная и неубывающая;
Б) положительная и убывающая;	Г) положительная и неубывающая;

9. Интегральная теорема Лапласа записывается как:

А) ;	В) ;
Б) ;	Г) .

10. Задача: в ходе аудиторской проверки строительной компании аудитор случайным образом отбирает 5 счетов. При условии, что 10% счетов содержат ошибки, Какому закону распределения подчиняется количество счетов с ошибками среди отобранных?

А) биномиальному;	В) равномерному;
Б) гипергеометрическому;	Г) закону распределения Пуассона.

11. Если значение коэффициента асимметрии , то асимметрия:

А) существенная левосторонняя;	В) существенная правосторонняя;
Б) несущественная левосторонняя;	Г) несущественная правосторонняя.

12. Если все варианты ряда уменьшить (увеличить) на постоянную величину k, то дисперсия:

А) не измениться;	В) уменьшиться (увеличиться) в раз
Б)уменьшиться (увеличиться) на величину k;	Г) уменьшиться (увеличиться) в k раз.

13. Коэффициент вариации рассчитывается:

А)

Б)

В)

Г)

14. Доверительный интервал для оценки генеральной средней при собственно-случайной повторной выборке объемом 30 может быть записан как:

А) ;	В) ;
Б) );	Г) ;

15. Теоретической основой выборочного метода является:

А) неравенство Чебышева;	В) лемма Маркова;
Б) теорема Чебышева (частный случай);	Г) теорема Чебышева (общий случай).

16. Сущность выборочного метода состоит в том, что:

А) для изучения вместо всей совокупности элементов берётся лишь некоторая их часть, отобранная по определённым правилам;

Б) для исследования все элементы изучаемой совокупности группируются по определённым правилам;

В) элементы изучаемой совокупности отбираются через определённый интервал;

Г) сначала обследуются все элементы изучаемой совокупности, а затем по определённым правилам отбирается их некоторая часть.

17. Необходимый объем выборки для оценки генеральной средней при собственно- случайном повторном отборе может быть найден как:

А) ;

Б) ;

В) ;

Г) ;

18. При помощи - критерия Пирсона осуществляется проверка гипотезы о

А) числовом значении доли;

Б) равенстве двух генеральных средних с неизвестными дисперсиями;

В) равенстве двух генеральных дисперсий;

Г) нормальном распределении генеральной совокупности.

19. Критические области бывают:

А) только односторонними;	В) только трехсторонними;
Б) только двухсторонними;	Г)одно- или двухсторонними.

20. Задача: в молочном отделе универсама произведено контрольное взвешивание десяти 200-грамовых пачек сливочного масла и установлено, что г. и S=4г. Менеджер отдела выдвигает предположение о недобросовестности поставщика. Прав ли он? Уровень значимости принять равным =0,001. Нулевая и альтернативная гипотезы формулируются как:

А) ;

Б) ;

В) ;

Г) .

Задача 1

Монета подбрасывается 5 раз составьте закон распределения вероятностей для числа выпадения герба.

Задача 2

Производитель пальчиковых батареек желает оценить среднюю продолжительность их работы. Случайная выборка 12 батареек показала, что выборочная средняя равна 34,2 часа, а выборочное среднее квадратическое отклонение составило 5,9 часа. Найдите 95%-ный доверительный интервал средней продолжительности работы батареек.

Заведующий кафедрой______________(подпись) ________________________(ФИО)

Экзаменатор _______________(подпись) _______________________(ФИО)

«»___________ 201___ г.

Эталон ответа, решения
№п/п	Ф.И.О. студента номер группы Зачетное задание № 1

Решите тестовое задание, укажите номер правильного ответа

№1

Б

А

А

А

Г

Б

Г

А

Б

А

В

В

Б

Г

Г

А

А

Г

Г

А

50баллов

Задача 1

Монета подбрасывается 5 раз составьте закон распределения вероятностей для числа выпадения герба.

Решение:

Пусть событие состоит в том, что при бросании монеты появляется герб. Тогда ; . При бросаниях монеты герб может появиться: 5, 4, 3, 2, 1 раз или не появиться совсем. Вероятности этих значений найдем по формуле Бернулли.

Ряд распределения имеет вид:

	0,03125	0,15625	0,3125	0,3125	0,15625	0,03125

Задача 2.

Производитель пальчиковых батареек желает оценить среднюю продолжительность их работы. Случайная выборка 12 батареек показала, что выборочная средняя равна 34,2 часа, а выборочное среднее квадратическое отклонение составило 5,9 часа. Найдите 95%-ный доверительный интервал средней продолжительности работы батареек.

Решение:

Критерии оценивания
Каждый верный ответ на вопрос экзаменационного тестового задания оценивается в 2,5 балла. Каждая верно решенная задача оценивается в 25 баллов. Суммарный итоговый балл переводится в оценку по пятибалльной шкале:
0-49	неудовлетворительно
50-66	удовлетворительно
67-83	хорошо
84-100	отлично

Дата добавления: 2014-12-16