Условная вероятность. вероятность произведения событий

Произведение и сумма событий

Произведением двух событий А я В называется событие АВ, состоящее в том, что происходит каждое из этих событий.

Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в появлении всех этих событий.

Суммой двух событий А и В называется событие А+В, состоящее в том, что происходит хотя бы одно из этих событий.

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Пример 2.9. Из урны, содержащей не менее двух белых и двух черных шаров, последовательно извлекаются два шара.

А = {белый шар при первом извлечении};

В = {белый шар при втором извлечении};

АВ = {белые шары при первом и втором извлечениях};

А+В = {первый шар – белый, второй – черный, или первый шар – черный, второй – белый, или первый и второй шары – белые}.

Определение2.2. Вероятность события А, вычисленная при условии, что произошло событие В, называется условной вероятностью события А при наличии события В и обозначается Р (А|В).

Пример 2.10. Опыт: подбрасывание двух монет. События:

А = {выпадение «орла» на обеих монетах};

В = {выпадение «орла» на одной из монет}.

Найти вероятность Р (А). Общее число возможных исходов опыта n =4 ( оо, ор, рр, ро), благоприятствующий исход один (оо), следовательно, Р (А)=1/4.

Найти теперь условную вероятность Р (А|В). Поскольку известно, что произошло событие В, число возможных исходов испытания п– 1(оо, ор, ро), благоприятствующий исход по–прежнему один, следовательно, Р (А|В)=1/3.

Теорема. Вероятность произведения двух событий А и В, равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого при наличии первого:

Р (АВ) = Р (А) Р (В | А)или Р(АВ) = Р (В) Р (А | В). (2.1)

Эта теорема обобщается на любое конечное число событий следующим образом:

(2.2)

Определение2.3. Два события называются независимыми, если появление любого из них не изменяет вероятности другого, т.е. события А и В независимы, если Р (А|В) =Р (А).

Из формул (2.1) следует, что если выполняется равенство Р (А|В) =Р (А),. то выполняется и равенство Р (В\А) =Р (В).

Определение2.4. Несколько событий, А ₁, А ₂,..., А_п, называются независимыми в совокупности (или просто независимыми), если появление любых из них не изменяет вероятностей остальных. Для независимых событий формула (2.2) принимает вид:

Р ( А ₁ А ₂... А_п ) = Р ( А ₁ ) ×Р ( А ₂ ×...×Р ( А_п ) .

Пример 2.11. Из урны, содержащей 3 белых и 7 черных шаров, наудачу извлекают два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Решение. Считаем, что шары извлекаются поочередно. Пусть

А = {первый шар – белый}, В = {второй шар – белый}, тогда АВ – {оба шара – белые}.

По теореме умножения вероятностей Р (АВ) =Р (А) Р (В | А). Согласно классическому определению вероятности Р (А) = 3/10, Р (В | А) = 2/9.Следовательно, Р (АВ) = (3/10) × (2/9).

Пример 2.12. Два стрелка стреляют по одной мишени. Вероятность поражения мишени первым стрелком равна 0.6, вторым – 0.8. Найти вероятность того, что в мишени будет две пробоины.

Решение. Введем в рассмотрение события, вероятности которых известны:

А = {поражение мишени первым стрелком},

В – {поражение мишени вторым стрелком}.

Интересующее нас событие выразим через эти события. Для того, чтобы имело место событие С={две пробоины в мишени}, надо, чтобы произошли вместе события А и В, т.е. С=АВ.

Естественно считать события А и В независимыми, поэтому

Р (С) =Р (А) × Р (В)=0.6×0.8.

Дата добавления: 2014-12-16