Криволінійні інтеграли

Для обчислення криволінійних інтегралів по координатах (інтегралів другого роду), тобто інтегралів виду

, (5.2.1)

використовується одна із формул:

· якщо крива задана рівнянням виду і при переміщенні із точки цієї кривої в точку змінюється від до, то

; (5.2.2)

· якщо крива задана параметрично, тобто системою рівнянь, і при переміщенні із точки в точку параметр змінюється від до, то

. (5.2.3)

В процесі обчислення криволінійних інтегралів по довжині дуги (інтегралів першого роду) користуються однією із формул:

· якщо крива задана рівнянням виду , то ,

. (5.2.4)

· якщо крива задана параметрично, тобто системою , де , то , і

. (5.2.5)

Значення криволінійного інтеграла другого роду при зміні напряму руху вздовж кривої змінюється на протилежне, а інтеграл першого роду не залежить від напряму.

Криволінійні інтеграли у просторі визначаються аналогічно.

Приклад 5.2.1. Обчислити криволінійні інтеграли: 1) , де – дуга параболи , що пробігається від точки до точки; 2) , де – відрізок прямої, що з’єднує точки О (0; 0) і А (1; 2); 3) , де – дуга кривої, заданої параметрично: , , .

Розв’язання. 1) В цей інтеграл другого роду підставимо , , і врахуємо, що змінюється від –1 до 1 при русі з точки до точки. Тоді згідно (5.2.2) маємо:

.

2) Рівняння прямої, що з’єднує точки О (0; 0) і А (1; 2), має вид , змінюється від 0 до 1 при русі від точки О до точки А, . Значить, інтеграл першого роду дорівнює згідно (5.2.4): .

3)

Значить, інтеграл першого роду дорівнює згідно (5.2.5):

.

Зауважимо, що приклад 5.2.1 відповідає завданню 5.2 контрольної роботи.

Література: [1, с. 458 ‑ 467], [2, с. 617 ‑ 625], [3, с. 499 – 502], [14].

Дата добавления: 2014-12-17